Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - ENES Juriquilla - 2025 - 2

 

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - ENES Juriquilla

Licenciatura en Matemáticas para el desarrollo

Universidad Nacional Autónoma de México

Semestre 2025 - 2

 

Horario de clase:

  • Lu 9:00-11:00, Ju 10:00 - 12:00, Vi 9:00 - 11:00. Salón VI-204.
  • Práctica: Vi 11:00- 14:00. V-304 Cómputo.

Programa

Libros de texto principales: 

Bibliografía básica:

  • Shair Ahmad, Antonio Ambrosetti, A Textbook on Ordinary Differential Equations, 2nd Edition, Springer, 2015.

  • Dennis G. Zill, A first Course in Differential Equations with Modeling Applications. Brooks/Cole CENGAGE Learning Tenth edition. 2013.

  • Boyce, W., Diprima, R., Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. New York: J. Wiley, 2001.

 

Bibliografía básica:

  • Mesografía (referencias electrónicas).

 Calendario de exámenes :

Examen 1 (25%): Jueves 13 de marzo, 2025. 4:00 pm - 6:30 pm.
Examen 2 (25%): Jueves 24 de abril, 2025. 4:00 pm - 6:30 pm.
Examen final (30%): Jueves 5 de junio, 2025. 4:00 pm - 7:00 pm.

Objetivo del curso:

• Experimentar en la modelación matemática de problemas a través de la formulación de ecuaciones diferenciales ordinarias.

• Examinar la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias y sus aplicaciones.

• Identificar métodos analíticos y cualitativos para el análisis de las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Objetivos específicos:

• Ilustrar y explicar algunos fenómenos naturales desde la perspectiva matemática, como motivación para el estudio de las ecuaciones diferenciales.

• Reconocer la naturaleza de las ecuaciones diferenciales lineales y no-lineales de primer orden así como sus propiedades y características principales.

• Reconocer la naturaleza de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden así como sus propiedades y características principales.

• Explicar los conceptos y propiedades de las Transformadas de Laplace y Fourier así como su uso para resolver ecuaciones diferenciales.

• Desarrollar la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias y mostrar algunas aplicaciones.

• Establecer el análisis cualitativo de las ecuaciones diferenciales ordinarias no-lineales y mostrar algunas aplicaciones.

 

Temas:

1. Introducción

1.1 Nociones básicas y planteamiento de problemas generales.
1.2 Definición de solución y retrato fase de una ecuación diferencial.
1.3 Análisis del retrato fase de una ecuación diferencial.
1.4 Existencia y unicidad de soluciones.

 

2. Ecuaciones diferenciales de primer orden.

2.1 Ecuaciones homogéneas.
2.2 Ecuaciones no homogéneas y métodos de variación de parámetros.
2.3 Ecuaciones separables, ecuaciones exactas y el método del factor integrante.
2.4 Teorema de Existencia y Unicidad de Picard.
2.5 Lema de Gronwall, dependencia de las condiciones iniciales.

 

3. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

3.1 Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes.
3.2 Propiedades del conjunto de soluciones.
3.3 Ecuaciones no homogéneas, métodos de variación de parámetros (coeficientes indeterminados).
3.4 Interpretación geométrica de las soluciones en el plano.
3.5 Aplicaciones. Oscilaciones amortiguadas y forzadas, resonancias.

 

4. Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables

4.1 Métodos de solución por series de potencia.
4.2 Ecuaciones singulares y el método de Frobenius.
4.3 Transformada de Laplace.
4.4 Métodos de solución por Laplace y aplicaciones para resolver ecuaciones de segundo orden.

 

5. Sistemas de ecuaciones de primer orden lineales

5.1 Reducción de ecuaciones de orden n a un sistema de n ecuaciones de primer orden, ejemplos.
5.2 Sistema de ecuaciones de primer orden homogéneas.
5.3 Soluciones lineales independientes y solución general.
5.4 Ecuaciones con coeficientes constantes, exponencial de una matriz, valores y vectores propios.
5.5 Sistema de ecuaciones de primer orden no homogéneas.
5.6 Método de variación de parámetros, ejemplos.
5.7 Aplicaciones, osciladores acoplados y modos normales de oscilación.

 

6. Introducción a la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales

6.1 Estabilidad de la solución de equilibrio de sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes.
6.2 Clasificación de los puntos de equilibrio en el plano y en el espacio.
6.3 Plano fase.
6.4 Linearización de los puntos de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales.
6.5 Descripción cualitativa de los conjuntos límites y el Teorema de Poincaré Bendixon en el plano.
6.6 Dibujo cualitativo del plano fase, ejemplos y aplicaciones.

 

7. Ecuaciones en diferencias y métodos numéricos

7.1 Ecuaciones lineales en diferencias.
7.2 Aplicaciones de ecuaciones de diferencias: el método de Newton.
7.3 Método de Euler.
7.4 Métodos de Runge-Kutta.
7.5 Revisión de software existente para la solución y análisis de EDOs.
 

Tareas:

Tarea 1

Tarea 2

Tarea 3

 

Notas del curso (Boyce & Diprima):

Capítulo 1: https://www.dropbox.com/scl/fi/46czwqwqnk9973vk2xa3y/Capitulo1.pdf?rlkey=7sgb4jt7trql1j426kh2t7bqx&dl=0

Capítulo 2: https://www.dropbox.com/scl/fi/byvgwqbjcv5pdnvblhgvi/Capitulo2.pdf?rlkey=gwkbreqv4ks9we27xw59yiolf&dl=0