Euclides de Alejandría. Nació alrededor de 325 AC y murió alrededor de 265 AC en Alejandría, Egipto. Euclides de Alejandría es el matemático más prominente de la antigüedad mejor conocido por su tratado sobre matemáticas llamado Los Elementos. La vigencia de Los Elementos hace de Euclides el principal maestro de matemáticas de todos los tiempos.
No obstante, se sabe poco de la vida de Euclides excepto que enseñó en Alejandría en Egipto. Proclo, el último de los grandes filósofos griegos, que vivió alrededor de 450 AC escribió (véase [1] o [9] o muchas otras fuentes):-
Euclides, sin ser mucho más joven que éstos [discípulos de Platón], elaboró los "Elementos", poniendo orden en muchos de los teoremas de Eudoxo, perfeccionando muchos de los de Teteto, y también dando demostraciones irrefutables para hechos probados sin rigor por sus predecesores. Este hombre fue contemporáneo del primer Tolomeo; para Arquímedes, quien se apegó al primer Tolomeo, menciona a Euclides, y se dice que alguna vez Tolomeo le preguntó si había un camino más corto para estudiar geometría que los Elementos, a lo cual replicó que no había camino real a la geometría.. Él es, por tanto, más joven que el círculo de Platón, pero mayor que Eratóstenes y Arquímedes; ya que éstos eran contemporáneos, como Eratóstenes afirma en alguna parte. En su visión, era platónico, ya que simpatizaba con su filosofía, puesto que su objetivo de todos los "Elementos" fue la construcción de los llamados sólidos platónicos.
Hay otra información acerca de Euclides dada por ciertos autores, pero no parece ser confiable. Existen dos tipos distintos de información adicional. El primer tipo de información adicional es la dada por autores árabes que afirman que Euclides era hijo de Naucrates y que había nacido en Tiro. Sin embargo, otros historiadores de las matemáticas creen que esto es meramente ficticio y solamente inventado por sus autores.
El segundo tipo de información es que Euclides nació en Megara. Esto se debe a un error de parte de los autores que dieron por vez primera esta información. En efecto, hubo un Euclides de Megara, quien fue filósofo y vivió unos 100 años antes del matemático Euclides de Alejandría. No es mera coincidencia que parezca haber habido dos eruditos de nombre Euclides. Euclides era un nombre muy común por este período y esto implica una mayor dificultad para descubrir información concerniente a Euclides de Alejandría ya que hay referencias a numerosos hombres llamados Euclides en la literatura de este período.
Volviendo a la cita de Proclo dada arriba, hay que señalar que no hay inconsistencia en las fechas dadas. Sin embargo, aunque no sabemos con exactitud a que referencia a Euclides en la obra de Arquímedes se refiere Proclo, hasta donde sabemos hay sólo una referencia a Euclides que ocurre en Sobre la esfera y el cilindro. La obvia conclusión, por tanto, es que todo está correcto en el argumento de Proclo y siempre se había aceptado hasta que fue rebatido por Hjelmslev en [48]. Argüía que la referencia a Euclides había sido añadida al libro de Arquímedes en fecha posterior y, en efecto, es una referencia bastante sorprendente. No era la tradición en aquella época hacer tales referencias, más aún, hay muchas otras partes de la obra de Arquímedes, donde debería hacerse referencia a Euclides y no hay tales referencias. No obstante, Hjelmslev insiste en que el pasaje fue añadido posteriormente, Bulmer-Thomas escribe en [1]:-
Aunque ya no es posible confiar en esta referencia, una consideración general de las obras de Euclides ... aún muestra que debe de haber escrito posteriormente a tales discípulos de Platón como Eudoxo y antes de Arquímedes.
Para una mayor discusión sobre las fechas de Euclides véase, por ejemplo, [8]. Esto aún dista del final de las argumentaciones sobre Euclides el matemático. El mejor sumario de la situación la da Itard [11], quien plantea tres posibles hipótesis.
(i) Euclides fue un personaje histórico que escribió Elementos y las otras obras a él atribuidas.
(ii) Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajó en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a la escritura de las ‘obras completas de Euclides’, incluso escribiendo libros a nombre de Euclides después de su muerte.
(iii) Euclides no fue un personaje histórico y las ‘obras completas de Euclides’ fueron escritas por un equipo de matemáticos en Alejandría, que asumieron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, quien vivió alrededor de 100 años antes.
Vale la pena señalar que Itard, que acepta las propuestas de Hjelmslev, de que el pasaje sobre Euclides fue agregado por Arquímedes, está a favor de la segunda de las tres posibilidades anotadas arriba. No obstante, hemos de comentar sobre cada una de las tres posibilidades, las cuales, es justo decir, resumen bastante bien todas las teorías existentes posibles.
Hay algunas evidencias fuertes para admitir (i). Ésta fue aceptada sin cuestionamientos por todo el mundo por más del 2000 años y hay poca evidencia que sea inconsistente con esta hipótesis. Es cierto que hay diferencias en estilo entre algunos de los libros de los Elementos pero también es cierto que muchos autores varían su estilo. Otra vez, el hecho de que Euclides indudablemente haya basado los Elementos en obras previas sería bastante notable si no se hubiera mantenido alguna traza del estilo del autor original.
Incluso, si aceptamos (i), entonces hay poca duda de que Euclides construyó una vigorosa escuela de matemáticas en Alejandría. Por lo tanto, debería de haber tenido algunos discípulos capaces que hubieran colaborado en la escritura de sus libros. Sin embargo, la hipótesis (ii) va más allá y sugeriría que libros diferentes fueron escritos por matemáticos diferentes. Más que las diferencias en estilo señaladas antes, hay poca evidencia de esto.
Aunque ante lo dicho la hipótesis (iii) podría parecer la más fantasiosa de las tres, el ejemplo del siglo veinte de Bourbaki muestra que está lejos de ser imposible. Henri Cartan, André Weil, Jean Dieudonné, Claude Chevalley y Alexander Grothendieck escribieron en forma colectiva bajo el nobre de Nicolás Bourbaki y los Eléments de mathématiques de Bourbaki contienen más de 30 volúmenes. Por supuesto, si (iii) fuese la hipótesis correcta, entonces Apolonio, quien estudió con los discípulos de Euclides en Alejandría, debería de haber sabido que no hubo la persona ‘Euclides’, pero el hecho de que haya escrito:
.... Euclides no elaboraba la síntesis del locus con respecto a tres y cuatro rectas, sino sólo una porción aleatoria de él...
ciertamente no prueba que Euclides haya sido un carácter histórico, ya que hay referencias similares a Bourbaki por matemáticos que saben perfectamente bien que Bourbaki es ficticio. No obstante, los matemáticos que formaron el equipo Bourbaki son todos bien conocidos por derecho propio y éste podría ser el principal argumento contra la hipótesis (iii), ya que el ‘equipo Euclides’ debería de haber constado de matemáticos sobresalientes. ¿Quiénes fueron ellos entonces?
En este artículo aceptaremos la hipótesis (i) como cierta, y al no tener conocimiento de Euclides, habremos de concentrarnos en sus obras después de hacer algunos comentarios sobre posibles eventos históricos. Euclides debe de haber estudiado en la Academia de Platón en Atenas para haber aprendido la geometría de Eudoxo y Teteto con la que estaba muy familiarizado.
Ninguna de las obras de Euclides tiene un prólogo, o al menos ninguno ha sobrevivido hasta nuestros días, por lo que es poco probable que los haya habido; así no podemos ver nada de su carácter, como sí lo podemos ver en algunos otros matemáticos griegos a partir de la naturaleza de sus prólogos. Pappus escribe (véase [1], por ejemplo) que Euclides era:-
... de lo más justo y bien dispuesto hacia todos aquéllos que en alguna medida eran capaces de hacer avanzar las matemáticas, cuidadoso de no ofender en modo alguno, y sin embargo un erudito exacto que no se jacta de sí mismo.
Algunos afirman que estas palabras le fueron añadidas a Pappus, y ciertamente el punto de este pasaje (en una parte posterior que no hemos citado) es hablar mal (y de seguro casi injustamente) de Apolonio. La imagen de Euclides trazada por Pappus va, sin embargo, en línea con la evidencia de sus textos matemáticos. Otra historia es la que cuenta Stobaeus [9], a saber:-
... alguien que había empezado a aprender geometría con Euclides, cuando había aprendido el primer teorema, le preguntó a Euclides “¿de qué me sirve aprender estas cosas?” Euclides llamó a su esclavo y le dijo “Dale tres peniques pues debe sacar provecho de lo que aprende”.
La obra más famosa de Euclides es su tratado sobre matemáticas Los Elementos. El libro era una compilación del conocimiento que se convirtió en el centro de la enseñanza matemática por 2000 años. Probablemente ninguno de los resultados en Los Elementos fueron probados por primera vez por Euclides, pero la organización del material y su exposición son con seguridad obra de él. Hay, de hecho, amplia evidencia de que Euclides usa textos previos cuando escribe los Elementos ya que introduce un buen número de definiciones que nunca se usan como la de un oblongo, un rombo y un romboide.
Los Elementos comienzan con definiciones y cinco postulados. Los primeros tres son postulados de construcción, por ejemplo, el primero establece que es posible dibujar una recta entre cualesquiera dos puntos. Estos postulados también suponen implícitamente la existencia de puntos, rectas y círculos, y entonces la existencia de otros objetos geométricos se deduce de la existencia de aquéllos. Hay otras hipótesis en los postulados que no son explícitas. Por ejemplo, se supone que hay una única recta que une dos puntos cualesquiera. Análogamente, los postulados dos y tres, sobre producir rectas y trazar círculos, respectivamente, suponen la unicidad de los objetos cuya construcción se postula.
El cuarto y el quinto postulado son de naturaleza diferente. El cuarto establece que todos los ángulos rectos son iguales. Esto puede parecer “obvio”, pero esto presume que el espacio es homogéneo, es decir, que una figura será independiente de la posición en el espacio en la cual se coloca. El famoso quinto postulado, o de las paralelas, establece que puede dibujarse una y sólo una recta que pase por un punto y sea paralela a una recta dada. La decisión de Euclides de formular este postulado condujo a la geometría euclidiana. No fue hasta el siglo diecinueve que se eliminó este postulado y se estudiaron geometrías no euclidianas.
También hay axiomas que Euclides llama ‘nociones comunes’. Estas no son propiedades geométricas específicas, sino suposiciones bastante generales que permiten a las matemáticas proceder como en una ciencia deductiva. Por ejemplo:-
Objetos que son iguales al mismo objeto son iguales entre sí.
Zenón de Sidón, alrededor de 250 años después de que Euclides escribió los Elementos, parece haber sido el primero que probó que las proposiciones de Euclides no se deducían solamente de los postulados y axiomas, y que Euclides no hace otras suposiciones sutiles.
Los Elementos están divididos en 13 libros. Del I al VI tratan la geometría plana. En particular, los libros I y II formulan las propiedades básicas de los triángulos, paralelas, paralelogramos, rectángulos y cuadrados. El libro III estudia propiedades del círculo, mientras que el IV trata problemas sobre círculos y está pensado en gran parte para presentar la obra de los pitagóricos. El libro V establece las bases de la obra de Eudoxo sobre proporciones aplicadas a magnitudes conmensurables e inconmensurables. Heath dice [9]:-
Las matemáticas griegas no pueden presumir de un descubrimiento mejor que esta teoría, que colocó sobre una base sólida toda la geometría que depende del uso de las proporciones.
El libro VI busca aplicaciones de los resultados del libro V a la geometría plana.
Los libros VII a IX tratan la teoría de los números. En particular el VII es una introducción completa a la teoría de los números y contiene el algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor de dos números. El libro VIII ve los números en progresión pero van der Waerden escribe en [2] que contiene:-
... enunciados engorrosos, repeticiones innecesarias e incluso falacias lógicas. Aparentemente la exposición de Euclides sólo es excelente en aquellas partes para las que tuvo a su disposición excelentes fuentes.
El libro X versa sobre la teoría de los números irracionales y es en esencia la obra de Teteto. Euclides modificó las pruebas de varios teoremas en este libro para que se ajustaran a la nueva definición de proporción dada por Eudoxo.
Los libros del XI al XIII tratan sobre geometría tridimensional. En el XIII se dan las definiciones básicas necesarias para los tres libros. Los teoremas siguen después un patrón bastante similar a sus análogos bidimensionales dados previamente en los libros I y IV. Los resultados principales del libro XII versan sobre que las áreas de los círculos son unas a otras, como los cuadrados de sus diámetros y sobre que los volúmenes de las esferas son unos a otros como los cubos de sus diámetros. Estos resultados son con certeza debidos a Eudoxo. Euclides prueba estos teoremas usando el “método exhaustivo” inventado por Eudoxo. Los Elementos terminan con el libro XIII que discute las propiedades de los cinco poliedros regulares y demuestra que son precisamente cinco. Este libro parece estar basado en gran parte en un tratado anterior de Teteto.
Los Elementos de Euclides son notables por la claridad con la que se formulan y demuestran los teoremas. El nivel de rigor fue visto como una meta por los creadores del cálculo muchos siglos después. Heath escribe en [9]:-
Este maravilloso libro, con todas sus imperfecciones, que en realidad son pocas tomando en cuenta la fecha de su aparición, es y seguirá siendo sin duda el máximo texto de matemáticas de todos los tiempos. ... Incluso en tiempos de los griegos los matemáticos más brillantes se ocuparon de él: Herón, Pappus, Porfirio, Proclo y Simplicio escribieron comentarios; Teón de Alejandría lo reeditó, alterando el lenguaje en algunas partes, en buena parte para hacerlo más claro y consistente...
Es una fascinante historia cómo los Elementos han sobrevivido desde la época de Euclides, como lo cuenta muy bien Fowler en [7]. Describe el material más antiguo relacionado con los Elementos que ha sobrevivido:-
Nuestro más antiguo vistazo al material euclidiano será durante mil años el más notable, seis ostraca fragmentarios que contienen texto y una figura... hallados en la Isla Elefantina en 1906/07 y 1907/08... Estos textos son antiguos, aunque más de 100 años posteriores a la muerte de Platón (están datados sobre bases paleográficas en el tercer cuarto del tercer siglo AC); avanzados (tratan resultados que se encuentran en los "Elementos" [libro XIII] ... sobre el pentágono, hexágono, decágono y el icosaedro);y no siguen el texto de los Elementos. ... Así que dan evidencia de alguien en el tercer siglo AC, localizado más de 800km al sur de Alejandría, que manejaba este difícil material...éste puede ser un intento de entender las matemática y no una mera copia...
El siguiente fragmento que tenemos data de 75 - 125 DC y de nuevo parece tratarse de notas de alguien intentando comprender el material de los Elementos.
Más de mil ediciones de Los Elementos han sido publicadas desde su primera impresión en 1482. Heath [9] discute muchas de las ediciones y describe los probables cambios al texto a través de los años.
B L van der Waerden estima la importancia de los Elementos en [2]:-
Casi desde que se escribieron y casi hasta la actualidad los Elementos han ejercido un influencia continua e intensa en los asuntos humanos. Ha sido la fuente primaria de razonamiento, teoremas y métodos geométricos, al menos hasta el advenimiento de la geometría no euclidiana en el siglo diecinueve. A veces se dice que después de la Biblia, son quizás “Los Elementos” la obra más traducida, publicada y estudiada de todos los libros producidos en el mundo occidental.
Euclides también escribió los siguientes libros que han sobrevivido: Data (con 94 proposiciones), que trata las propiedades de las figuras que se deducen de otras propiedades dadas; Sobre Divisiones que trata las construcciones para dividir una figura en dos partes con proporción dada; Óptica que es la primera obra griega sobre perspectiva, y Fenómenos que es una introducción a astronomía matemática y da resultados sobre las horas a las que las estrellas en ciertas posiciones salen y se ponen. Los siguientes libros de Euclides se perdieron: Lugares geométricos de superficies (dos libros), Porismos (una obra de tres libros, que según Pappus, contenía 171 teoremas y 38 lemas), Cónicas (cuatro libros), El libro de las falacias y Elementos de la música. Proclo [1] describe El libro de las falacias:-
Ya que muchas cosas parecen ser conformes a la verdad y seguir de principios científicos, pero desvían de los principios y engañan a los más superficiales, [Euclides] también ha diseñado métodos para el claro entendimiento de estos temas ... El trabajo en el que nos legó esta maquinaria se titula Falacias, que enumera en orden los varios tipos, ejercitando nuestra inteligencia en cada caso por teoremas de toda suerte, poniendo lado a lado lo cierto con lo falso y combinando la refutación del error con ilustración práctica.
Los elementos la música es una obra atribuida a Euclides por Proclo. Tenemos dos tratados sobre música que han sobrevivido y que algunos autores han atribuido a Euclides, pero ahora se piensa que no son la obra sobre música a la que se refiere Proclo.
Puede ser que Euclides no haya sido un matemático de primera línea, pero la durabilidad de Los elementos lo convierte en el principal maestro de matemáticas de la antigüedad o quizás de todos los tiempos. Como nota personal final, déjenme añadir que mi [EFR] propia introducción a las matemáticas en la escuela en los cincuentas fue a través de una edición parcial de los Elementos de Euclides, y la obra proporcionó una base lógica para las matemáticas y el concepto de demostración que parece estar ausente de las matemáticas escolares hoy en día.
Autores: J J O'Connor and E F Robertson
Traducción: Carlos Prieto de Castro
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MacTutor History of Matemáticas
[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Matemáticos/Euclides.html]