Biografías de Matemáticos

Eratóstenes de Cirene. Nació en 276AC en Cirene, África del Norte (ahora Shahhat, Libia), y murió en 194AC en Alejandría, Egipto. Entre sus maestros se encontraron el erudito Lisanias de Cirene y el filósofo Aristón de Quíos, quien había estudiado con Zenón, el fundador de la escuela estoica de filosofía. Eratóstenes también estudió con Calímaco, quien también era originario de Cirene. Eratóstenes pasó algunos años estudiando en Atenas.

 

Fue Ptolomeo I Sotero quien planeó la biblioteca de Alejandría y su hijo, Ptolomeo II Filadelfo (el que ama a su hermana) quien la construyó. La base de la biblioteca fueron copias de obras en la biblioteca de Aristóteles. Ptolomeo II Filadelfo designó a uno de los maestros de Eratóstenes, Calímaco, como el segundo bibliotecario. Cuando Ptolomeo III Evergetes (el benefactor) sucedió a su padre en 245AC persuadió a Eratóstenes para que fuese a Alejandría como tutor de su hijo Filopátor. A la muerte de Calímaco alrededor de 240AC, Eratóstenes se convirtió en el tercer bibliotecario en Alejandría, en la biblioteca en un templo de las musas, llamado Museion (o Museo de Alejandría). Se decía que la biblioteca contenía cientos de moles de papiros y pergaminos enrollados.

No obstante ser un erudito de vanguardia, se consieraba a Eratóstenes un poco abajo del más alto nivel. Heath escribe [4]:

[Eratóstenes] era, en verdad, reconocido por sus contemporáneos como un hombre muy distinguido en todas las ramas del conocimiento, aunque en cada tema estaba un poco abajo del máximo nivel. En este último ámbito se le llamaba Beta, y otro apodo que se le daba, Pentathlos, tiene la misma implicación, al representar un atleta en todos los deportes, sin ser el número uno en carreras o en la lucha, si bien obteniendo en ellos el segundo lugar.

Éste es un apodo ciertamente rudo para un hombre cuyos logros en muchas áreas diferentes se recuerdan aún, no solo por su importancia histórica, sino por aún seguir siendo una base para los métodos científicos modernos.

Una de las obras importantes de Eratóstenes fue Platonicus, que trataba de las matemáticas que subyacen a la filosofía de Platón. Esta obra fue usada sustancialmente por Teón de Esmirna, cuando escribió Expositio rerum mathematicarum y, aunque Platonicus está ahora perdido, Teón de Esmirna nos cuenta que la obra de Eratóstenes estudiaba las definiciones básicas de la geometría y la aritmética, así como que cubría temas como la música.

Una fuente de información bastante sorprendente, concerniente a Eratóstenes proviene de una carta falsificada. En su comentario a la Proposición 1 del libro II de Arquímedes de la esfera y el cilindro, Eutocio reproduce una carta famosa por haber sido escrita por Eratóstenes a Ptolomeo III Evergetes. La carta describe la historia del problema de la duplicación del cubo y, en particular, describe un dispositivo mecánico a inventado por Eratóstenes para encontrar segmentos de recta x y y de modo que para segmentos dados ay b, se cumple

a : x = x : y = y : b.

Por el famoso resultado de Hipócrates, se sabía que resolviendo el problema de hallar dos medias proporcionales entre un número y su doble, era equivalente a resolver el problema de duplicar el cubo. Aunque la carta es una falsificación, partes de ella están tomadas de escrituras propias de Eratóstenes. La carta, que ocupa un lugar importante en la historia de las matemáticas, se discute en detalle en [14]. Un texto árabe original de esta carta so conservó en la Universidad de San José en Beirut. Sin embargo, ahora está desaparecido y los detalles que se dan en [14] provienen de fotografías tomadas antes de su desaparición.

Otros detalles de lo que escribió Eratóstenes en Platonicus los da Teón de Esmirna. En particular, él describió ahí la historia del problema de duplicar el cubo (véase Heath [4]):

... cuando el dios proclamó a los delianos a través del oráculo que para deshacerse de una plaga debían construir un altar doble del ya existente, sus artesanos quedaron perplejos ante sus esfuerzos por descubrir cómo podían hacer un cubo sólido del doble de uno similar; por tanto, fueron a consultar a Platón, quien respondió que lo que el oráculo quiso decir no fue que el dios quería un altar del doble de tamaño, sino que lo que deseaba al asignarles la tarea era avergonzar a los griegos por su desprecio por las matemáticas y desdén por la geometría.

Eratóstenes erigió una columna en Alejandría con un epigrama inscrito en ella, refiriéndose a su propia solución mecánica del problema de duplicar el cubo [4]:

Si tú, mi buen amigo, desearais obtener de cualquier pequeño cubo un cubo el doble de él, y debidamente cambiar una figura sólida por otra, ello está en tus manos; podéis encontrar la medida de un terreno, de un foso o de la fuente de un pozo por este método, es decir, si vos atrapáis entre dos reglas dos medias convergentes en sus extremos. No busquéis querer hacer el difícil trabajo de los cilindros de Arquitas o de cortar el cono en las tríadas de Menecmo, o de rodear tal forma curva de líneas como lo describe el timorato Eudoxo. Tampoco intentes encontrar fácilmente sobre estas tablas una miríada de medias, partiendo de una pequeña base. Sed feliz, Ptolomeo, de que, como un padre de igual valor que su hijo, te has dado todo lo que aman las musas y los reyes, y quizás en el futuro, de Zeus, dios del cielo, también recibáis en tus manos el cetro. Así puede ser, y deja a quien vea esta ofrenda decir “Este es el regalo de Eratóstenes a Cirene”.

Eratóstenes también trabajó con números primos. Se le recuerda por su criba de números primos, la ‘criba de Eratóstenes’ que, modificada, sigue siendo una importante herramienta en la investigación en la teoría de los números. La criba aparece en la Introduccción a la aritmética de Nicomedes.

Otro libro escrito por Eratóstenes fue Sobre las medias; aunque ahora está perdido, lo menciona Pappus como uno de los grandes libros de geometría. En el campo de la geodesia, sin embargo, Eratóstenes sera recordado siempre por sus mediciones de la Tierra.

Eratóstenes hizo mediciones sorprendentemente precisas de la circunferencia de la Tierra. Los detalles los incluyó en su tratado Sobre la medición de la Tierra, el cual está ahora perdido. No obstante, algunos detalles de estos calculus aparecen en obras de otros autores tales como Cleómedes, Teón de Esmirna y Estrabo. Eratóstenes compare la sombra del mediodía en el verano entre Siena (ahora Asuán en el Nilo, Egipto) y Alejandría. Supuso (correctamente) que el sol estaba los suficientemente lejos como para considerar que sus rayos eran básicamente paralelos, y entonces, conociendo la distancia entre Siena y Alejandría, calculó la circunferencia de la Tierra como 250 000 estadios.

El qué tan precisa sea esta medición depende, por supuesto, de la longitud del estadio, lo cual ha sido discutido por los eruditos por largo tiempo. El artículo [11] discute los varios valores que los eruditos le han dado al estadio. Lo que es bien cierto es que Eratóstenes obtuvo un muy buen resultado, incluso notable si se toma como 157.2 metros la medida del estadio, como algunos han podido deducir de valores dados por Plinio. Es menos bueno si fue 166.7 metros el valor usado por Eratóstenes como lo sugiere Gulbekian en [11].

Varios de los artículos en las referencias, por ejemplo [10], [15] y [16], discuten la precisión del resultado de Eratóstenes. El artículo [15] es particularmente interesante. En él, Rawlins argumenta de manera convincente que la única medida que hizo el propio Eratóstenes en sus cálculos fue la distancia cenital en el solsticio de verano a Alejandría, y obtuvo un valor de 7°12'. Rawlins afirma que esto tiene un error de 16', mientras que otros datos usados por Eratóstenes, de fuentes desconocidas, eran considerablemente más precisos.

Eratóstenes también midió la distancia al sol como 804’ 000 000 de estadios y la distancia a la luna como 780 000 estadios. Calculó estas distancias usando datos obtenidos durante eclipses lunares. Ptolomeo nos dice que Eratóstenes midió la inclinación del eje de la Tierra con gran precisión, obteniendo un valor de 11/83 de 180°, es decir, 23° 51' 15".

El valor 11/83 ha fascinado a los historiadores de las matemáticas, por ejemplo, los artículos [9] y [17] están escritos justamente para examinar la fuente para este valor. Es, quizá, la visión más común, que el valor 11/83 se le debe a Ptolomeo más que a Eratóstenes. Heath [4] argumenta que Eratóstenes usó 24° y que 11/83 de 180° fue un refinamiento debido a Ptolomeo. Taisbak [17] coincide en atribuirle 11/83 a Ptolomeo aunque cree que Eratóstenes usó el valor 2/15 de 180°. Sin embargo, Rawlins [15] cree que utilize el método de fracciones continuas para calcular el valor 11/83 mientras Fowler [9] propone que fue el algoritmo de Euclides lo que se utilizó (véase también [3]).

Eratóstenes hizo muchas otras contribuciones importantes al progreso de la ciencia. Elaboró un calendario que contenía años bisiestos y sentó las bases de una cronografía sistemática del mundo, al tratar de dar las fechas de eventos políticos y literarios desde el sitio de Troya. Se dice que también compiló un catálogo que contenía 675 estrellas.

Eratóstenes hizo importantes contribuciones a la geografía. Dibujó de forma bastante precisa la ruta del Nilo a Khartoum, mostrando los dos afluentes etíopes. También sugirió que las fuentes del Nilo eran lagos. Ya eruditos habían hecho un estudio del Nilo antes de Eratóstenes y habían intentado explicar el comportamiento tan extraño del río, pero la mayoría de ellos, como Tales, estaban bastante equivocados en sus explicaciones. Eratóstenes fue el primero en dar la que es esencialmente la respuesta correcta, al sugerir que fuertes lluvias caían en regions cercanas a la fuente del río, y que ellas podían explicar las inundaciones río abajo. Otra contribución hecha por Eratóstenes a la geografía, fue su descripción de la región "Eudaimon Arabia" (Arabia feliz), hoy Yemen, como zona habitada por distintas razas. La situación era un tanto más complicada que lo propuesto por Eratóstenes, pero hoy por hoy, los nombres de las razas propuestos por Eratóstenes, a saber, Mineanos, Sabaenos, Qatabanianos y Hadramitas aún son utilizados.

Los escritos de Eratóstenes incluyen el poema Hermes, inspirado por la astronomía, así como obras literarias sobre el teatro y sobre la ética, que era un tema favorito de los griegos. Se dice que Eratóstenes is said perdió la vista a edad avanzada y se ha afirmado que se suicidó por inanición.

Artículo de: J J O'Connor and E F Robertson

1. D R Dicks, Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).

2. Biography in Encyclopaedia Britannica. [Available on the Web]

Libros:

1. D H Fowler, The matemáticas of Plato's academy: a new reconstruction (Oxford, 1987).

2. T L Heath, A History of Greek Matemáticas (2 vols.) (Oxford, 1921).

3. E P Wolfer, Eratosthenes von Kyrene als Mathematiker und Philosoph (Groningen-Djakarta, 1954).

Artículos:

1. A V Dorofeeva, Eratosthenes (ca. 276-194 B.C.) (Russian), Mat. v Shkole (4) (1988), i.

2. J Dutka, Eratosthenes' measurement of the Earth reconsidered, Arch. Hist. Exact Sci. 46 (1) (1993), 55-66.

3. B A El'natanov, A brief outline of the history of the development of the sieve of Eratosthenes (Russian), Istor.-Mat. Issled. 27 (1983), 238-259.

4. D H Fowler, Eratosthenes' ratio for the obliquity of the ecliptic, Isis 74 (274) (1983), 556-562.

5. B R Goldstein, Eratosthenes on the 'measurement' of the earth, Historia Math. 11 (4) (1984), 411-416.

6. E Gulbekian, The origin and value of the stadion unit used by Eratosthenes in the third century B.C, Arch. Hist. Exact Sci. 37 (4) (1987), 359-363.

7. G Knaack, Eratosthenes, Pauly-Wissowa VI (1907), 358-388.

8. F Manna, The Pentathlos of ancient science, Eratosthenes, first and only one of the 'primes' (Italian), Atti Accad. Pontaniana (N.S.)35 (1986), 37-44.

9. A Muwaf and A N Philippou, An Arabic version of Eratosthenes writing on mean proportionals, J. Hist. Arabic Sci. 5 (1-2) (1981), 174-147.

10. D Rawlins, Eratosthenes' geodest unraveled : was there a high-accuracy Hellenistic astronomy, Isis 73 (1982), 259-265.

11. D Rawlins, The Eratosthenes - Strabo Nile map. Is it the earliest surviving instance of spherical cartography? Did it supply the 5000 stades arc for Eratosthenes' experiment?, Arch. Hist. Exact Sci. 26 (3) (1982), 211-219.

12. C M Taisbak, Eleven eighty-thirds. Ptolomeo's reference to Eratosthenes in Almagest I.12, Centaurus 27 (2) (1984), 165-167.

Glosario

1. Uno de los problemas clásicos de las matemáticas griegas era encontrar una construcción usando solamente regla y compás de la raíz cúbica de 2. A esto se le conoce como la duplicación del cubo. Algunas veces se le llama también el problema Deliano por la leyenda que cuenta que el oráculo de Delos exigió esta construcción para detener una plaga. Los otros problemas clásicos son la cuadratura del círculo y la trisección un ángulo.

2. Un número entero > 1 es primo si es divisible solamente por sí mismo y la unidad (1). Al número 1 no se le considera primo. Todo entero positivo puede escribirse como un producto de primos de manera única.

3. La teoría de números es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números naturales N. Incluye temas como los números primos (incluyendo el teorema de los números primos), la reciprocidad de cuadrados, las formas cuadráticas, la aproximación diofantina y las ecuaciones diofantinas, los campos de números algebraicos, el último teorema de Fermat y los métodos desarrollados para demostrarlo.

4. Un estadio es una medida griega de distancia equivalente a 600 pies griegos. Las opiniones sobre cuánto medía realmente varían entre los 154 y los 215 metros.

5. El solsticio es el momento de año cuando el sol está a mayor distancia del ecuador, haciendo que el día y la noche sean los más largos o cortos. Tienen lugar alrededor del 21 de junio y del 21 de diciembre.

6. La expansión en fracciones continuas de un número r es una expresión que tiene la forma:

7. 
   Si r es un número racional, esta expansión termina.

8. Es un procedimiento muy eficiente para calcular el máximo común divisor d de una pareja de números enteros m y n y escribirlo en la forma d = pm + qn donde p y q son también enteros. Esto se hace mediante divisiones euclidianas sucesivas. Para más detalles, ver la entrada correspondiente en Proyecto Descartes.

9. Ética es la rama de la filosofía que trata del carácter y la conducta humana.

Páginas relacionadas

• Los números primos y la criba de Eratóstenes en el Proyecto Descartes

• El método de Eratóstenes para medir la circunferencia de la Tierra en Redescolar