Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor. Nació el 3 de marzo de 1845 en San Petersburgo, Rusia, y murió el 6 de enero de 1918 en Halle, Alemania. El padre de Georg Cantor, Georg Waldemar Cantor, era un exitoso mercader, que trabajaba como agente mayorista en San Petersburgo, después como corredor de bolsa en la Bolsa de Valores de San Petersburgo.
Georg Waldemar Cantor había nacido en Dinamarca y era un hombre con profundo amor por la cultura y las artes.La madre de Georg, María Anna Böhm, era rusa y muy musical. Ciertamente, Georg heredó considerables talentos musicales y artísticos de sus padres que lo convirtieron en un sobresaliente violinista. Georg creció en la fe cristiana como protestante, que era la religion de su padre, en tanto que su madre era católica romana.
Después de su primera educación en casa a cargo de un tutor privado, Cantor asistió a la escuela primaria en San Petersburgo. Después, en 1856, cuando tenía once años, la familia se mudó a Alemania. Sin embargo, Cantor:-
... recordaba sus primeros años en Rusia con gran nostalgia y nunca se sintió bien en Alemania, aunque ahí vivió por el resto de su vida y aparentemente nunca escribió nada en ruso, lengua que debe de haber conocido bien.
El padre de Cantor tenía una salud endeble y se fue a Alemania para buscar un clima más tibio que los duros inviernos de San Petersburgo. Primero vivieron en Wiesbaden, donde Cantor asistió al Gymnasium, y después se mudaron a Frankfurt. Cantor estudió en la Realschule de Darmstadt, donde vivió en una pensión. Se graduó en 1860 con un extraordinario informe, en el que se hacía particular mención de su gran talento en matemáticas, en particular, en trigonometría. Después de asistir a la Höhere Gewerbeschule en Darmstadt en 1860 entró al Politécnico de Zurich en 1862. La razón por la cual su padre decidió enviarlo a la Höhere Gewerbeschule fue que deseaba que Cantor se convirtiera en:
... una brillante estrella en el firmamento de la ingeniería.
Sin embargo, en 1862 Cantor pidió permiso a su padre de estudiar matemáticas en la universidad, y con enorme gozo obtuvo finalmente el consentimiento de su padre. Sus estudios en Zurich, no obstante, fueron interrumpidos por el fallecimiento de su padre en junio de 1863. Cantor se cambió a la Universidad de Berlín, donde se hizo amigo de Hermann Schwarz, que fue su compañero allí. Cantor tomó clases con Weierstrass, Kummer y Kronecker. El semestre de verano de 1866 lo pasó en la Universidad de Göttingen, y regresó a Berlín para terminar su tesis doctoral sobre teoría de números De aequationibus secundi gradus indeterminatis en 1867.
Durante su estancia en Berlín, Cantor se involucró con la Sociedad Matemática, de la cual fue presidente de 1864 a 1865. También formó parte de un pequeño grupo de jóvenes matemáticos que se reunían semanalmente en una vinatería. Después de obtener su doctorado en 1867, Cantor fue maestro en una escuela de niñas en Berlin. Después, en 1868, se unió al Seminario Schellbach para maestros de matemáticas. Durante esta etapa, trabajó en su habilitación e inmediatamente después de que obtuvo una plaza en Halle en 1869, presentó su trabajo, de nuevo sobre teoría de números, y recibió su habilitación.
En Halle cambió la dirección de la investigación de Cantor de la teoría de números al análisis. Esto se debió a Heine, uno de sus colegas mayores en Halle, quien desafió a Cantor a que probara el problema abierto sobre la unicidad de la representación de una función como una serie trigonométrica. Éste era un problema difícil que había sido atacado por muchos matemáticos, incluido el propio Heine así como Dirichlet, Lipschitz y Riemann. Cantor resolvió el problema probando la unicidad de la representación en abril de 1870. Entre 1870 y 1872 publicó varios artículos que trataron las series trigonométricas, los que mostraron las enseñanzas de Weierstrass.
Cantor fue promovido a Profesor Extraordinario en Halle en 1872, año en el que entabló amistad con Dedekind, a quien conoció durante unas vacaciones en Suiza. Cantor publicó un artículo sobre series trigonométricas en 1872, en el cual definió los números irracionales en términos de sucesiones convergentes de números racionales. Dedekind publicó su definición de los números reales por "cortaduras de Dedekind" también en 1872 y en este artículo Dedekind cita el artículo de Cantor de 1872, que Cantor le había enviado.
En 1873 Cantor probó que los números racionales son numerables, es decir, se pueden poner en correspondencia biunívoca con los números naturales. También probó que los números algebraicos, es decir, los números que son soluciones de ecuaciones polinomiales con coeficientes enteros, son numerables. Sin embargo, sus intentos por decidir si los números reales son numerables resultaron más difíciles. En diciembre de 1873 logró probar que el conjunto de los números reales no era numerable y en 1874 lo publicó en un artículo. Es en este artículo que aparece por primera vez la idea de una correspondencia biunívoca, aunque sólo queda implícita en el trabajo.
Un número trascendente es un número irracional que no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. Liouville estableció en 1851 que los números trascendentes existen. Veinte años después, en su trabajo de 1874, Cantor probó que en cierto sentido 'casi todos' los números son trascendentes, al probar que los números reales no son numerables, mientras que los números algebraicos sí lo son.
Cantor siguió su trabajo, intercambiando cartas con Dedekind. La siguiente pregunta que se planteó, en enero de 1874, fue si el cuadrado unitario podía aplicarse biunívocamente sobre el intervalo unitario. En una carta a Dedekind fechada el 5 de enero de 1874 escribió:
¿Puede una superficie (digamos, un cuadrado que incluye su frontera) ser referido unívocam