János Bolyai. Nació en 1802 en Kolozsvár, actualmente Rumania, entonces parte del Imperio Austro-Húngaro, y falleció en 1860 en Marosvásárheli (Hungría). Estudió en el colegio dónde enseñaba su padre. Desde niño mostró grandes dotes para las matemáticas; con sólo trece años ya dominaba el cálculo y buena parte de las matemáticas superiores.
Farkas, padre de János, maestro de matemáticas, física y química, tenía amistad con C.-F. Gauss, a quien le escribió para pedirle el apoyo para que su hijo ingresara a la Universidad de Göttingen. Como era usual en Gauss, ni siquiera respondió. Entonces ingresó al Colegio Real de Ingeniería en Viena y después se integró al cuerpo de ingenieros de la armada austriaca.
Tenía una capacidad asombrosa para desarrollar diversas actividades. Aprendió a tocar el violín, fue el mejor esgrimista y el mejor bailarín de la armada. Aprendió nueve idiomas incluidos el tibetano y el chino mandarín. Empezó a padecer de fiebres, que le impidieron continuar dentro de la armada. Entonces empezó a dedicarse a las matemáticas, más para satisfacer su curiosidad personal, que para buscar reconocimiento. Apenas publicó 24 páginas en el apéndice de la obra de su padre, pero al morir dejó un legado de alrededor de veinte mil páginas manuscritas.
Fue por 1820, cuando aún estudiaba en Viena, que empezó a interesarse –al igual que su padre –en el quinto postulado de Euclides, tratando de reemplazarlo con otro que se pudiese deducir de los primeros cuatro. Empezó a crear la geometría hiperbólica. En 1823 le escribió a su padre diciendo que, a partir de la nada, había creado un nuevo universo. Un año después se presume que ya había obtenido todo lo que aparecería en su tratado de geometría no euclidiana.
En su estudio, publicado en el apéndice de la obra de su padre, investigó la geometría que satisface los cinco postulados de Euclides, la que, además de los primeros cuatro, en vez del quinto postulado, satisface el opuesto de éste. También estudió la geometría que sólo satisface los primeros cuatro.
Hoy día se les llama geometría euclidiana, hiperbólica y absoluta. El apéndice trata fundamentalmente la geometría absoluta.
En 1831 Farkas Bolyai volvió a escribirle a Gauss enviándole una separata del dichoso apéndice. Después de leerlo, escribió Gauss a un amigo diciéndole que consideraba a ese joven geómetra Bolyai como un genio de primer orden, a la vez que le escribió a Farkas diciéndole que elogiar [a János] habría sido como elogiarse a sí mismo, pues todo el contenido de la obra coincidía casi exactamente con sus propias elucubraciones que habían ocupado su mente durante los últimos treinta o treinta y cinco años.
En 1848 descubrió el trabajo de Lobachevski publicado en 1829. Con ideas muy similares a las de él, Bolyai lo leyó palabra por palabra. La obra de Lobachevski lo atribuló al grado de llegar a pensar que éste no existía y sólo era un nombre ficticio creado por las maquinaciones de Gauss.