Eugenio Beltrami. Nació en 1835, en Cremona, Lombardía, Imperio Austriaco, ahora Italia, y murió en 1900, en Roma, Italia. Proveniente de una familia artística, desarrolló talento artístico, aunque en vez de hacerlo en la pintura, como su padre, que era miniaturista, destacó en la música.
Estudió en la Universidad de Pavia, pero dificultades económicas lo obligaron a buscar un trabajo en 1856 y a abandonar sus estudios. Se desempeñó como secretario de un ingeniero ferrocarrilero. Lo que le permitió viajar.
En Milán retomó sus estudios de matemáticas y en 1862 publicó su primer artículo. Fue amigo de Betti y de otros destacados matemáticos italianos, y recibió la influencia de Cremona, Lobachevski, Gauss y Riemann.
Su artículo de 1868, Ensayo sobre una interpretación de la geometría no euclidiana, da una realización concreta de la geometría no euclidiana de Lobachevski y Bolyai y la conecta con la geometría riemanniana. Esta realización utiliza la pseudoesfera, una superficie generada por la revolución de una tractriz alrededor de su asíntota.
En su trabajo no demuestra la consistencia de la geometría no euclidiana ni la independencia del quinto postulado, sino que afirma que Lobachevski y Bolyai realmente no introdujeron nuevos conceptos, sino que describieron la teoría de geodésicas en superficies de curvatura negativa. En realidad –y sin quererlo –Beltrami sí demostró la independencia del quinto postulado de Euclides.
Vale la pena resaltar que Beltrami atrajo la atención del mundo matemático hacia el estudio de Saccheri de 1733 del postulado de las paralelas. Comparó los resultados de Saccheri con los de Borelli, Clavius y Wallis y con la geometría no euclidiana de Bolyai y Lobachevski.