Zenón de Elea. Nació alrededor de 490 AC en Elea, Lucania (ahora en el sur de Italia) y murió alrededor de 425 AC en Elea, Lucania (ahora en el sur de Italia). Muy poco se sabe de la vida de Zenón de Elea. Con certidumbre sabemos que era filósofo y se dice que fue hijo de Teleutágoras. La fuente de información principal de lo que se conoce de Zenón proviene del diálogo Parménides de Platón.
Zenón fue discípulo y amigo del filósofo Parménides y estudió con él en Elea. La Escuela Eleática, una de las principales escuelas presocráticas, había sido fundada por Parménides en Elea en el sur de Italia. Su filosofía del monismo afirmaba que las muchas cosas que parecen existir no son más que una sola realidad eternal, a la que él llamó Ser. Su principio era que “todo es uno” y que ese cambio o no-ser son imposibles. Ciertamente Zenón recibió una gran influencia de los argumentos de Parménides, y nos dice Platón que ambos filósofos visitaron Atenas juntos alrededor de 450 AC.
No obstante la descripción de Platón de la visita de Zenón y Parménides a Atenas, no ha sido universalmente aceptado que esa visita en efecto haya ocurrido. Sin embargo, Platón nos dice que Sócrates, que entonces era joven, conoció a Zenón y a Parménides en su visita Atenas y discutió filosofía con ellos. Dadas las mejores estimaciones de las fechas de nacimiento de estos tres filósofos, Sócrates habría tenido unos veinte años, Zenón unos cuarenta y Parménides unos sesenta y cinco en esa época; por ello, la aseveración de Platón es muy posible.
Zenón ya había escrito un libro de filosofía antes de su visita a Atenas, y Platón informa que el libro de Zenón significaba cierta fama lograda en Atenas antes de su visita. Desgraciadamente no sobrevivió ninguna obra de Zenón, pero tampoco hay evidencia de que haya escrito más de un libro. El libro escrito por Zenón previo a su visita a Atenas fue su famosa obra en la cual, según Proclo, incluyó cuarenta paradojas concernientes al continuo. Cuatro de ellas, que discutiremos con detalle más abajo, tuvieron profunda influencia en el desarrollo de las matemáticas.
Diógenes Laercio da mayores detalles sobre la vida de Zenón que generalmente se consideran poco confiables. Zenón regresó a Elea después de su visita a Atenas y Diógenes Laercio asegura que presenció su muerte en un heroico intento por derrocar a un tirano de la ciudad de Elea. Las historias de sus hechos heroicos y de tortura a manos del tirano pueden bien ser puros infundios. Diógenes Laercio también escribe acerca de la cosmología de Zenón y nuevamente no hay evidencia que sustente esto. Más abajo daremos algunas pautas sobre estos detalles.
Según Platón, el libro de Zenón de las cuarenta paradojas era:
... un juvenil esfuerzo, que fue robado por alguien, de modo que el autor no tuvo oportunidad de considerar su publicación. Su objetivo era defender el sistema de Parménides atacando la concepción común de las cosas.
Proclo también describió la obra y confirma que [1]:-
... Zenón elaboró cuarenta diferentes paradojas partiendo de la suposición de la pluralidad y el movimiento, todas ellas aparentemente basadas en las dificultades resultantes de un análisis del continuo.
En sus argumentos contra la idea de que el mundo contiene más de una cosa, Zenón dedujo sus paradojas de la suposición de que si una magnitud puede dividirse, entonces puede dividirse una infinidad de veces. Zenón también supone que una cosa que no tiene magnitud no puede existir. Simplicio, el último director de la Academia de Platón en Atenas, conservó muchos fragmentos de autores más antiguos, incluyendo a Parménides y a Zenón. En la primera mitad del siglo sexto escribió una explicación del argumento de Zenón de por qué algo sin magnitud no podría existir [1]:-
Pues si se le agrega a alguna otra cosa, no la hará mayor, y si se le sustrae, no la hará menor. Pero si no hace a una cosa mayor cuando se le agrega, ni menor cuando se le sustrae, entonces parece obvio que lo que se agregó o sustrajo no fue nada.
No obstante, el argumento de Zenón no es totalmente convincente, al menos, como escribe Makin en [25]:-
El desafío de Zenón al pluralismo simple es exitoso en cuanto a que fuerza a los antiparmenidianos a rebasar el sentido común.
Las paradojas que dio Zenón en relación con el movimiento lo dejan a uno más perplejo. Aristóteles, en su obra Física, da cuatro de los argumentos de Zenón, La Dicotomía, El Aquiles, La Flecha y El Estadio. Para la dicotomía, Aristóteles describe el argumento de Zenón (a partir de una traducción de Heath [8]):-
No hay movimiento porque aquello que se mueve debe llegar a la mitad de su camino antes de llegar al final.
Para atravesar un segmento de recta es necesario llegar a sup unto medio. Para hacerlo hay que llegar al punto 1/4, y para hacerlo hay que llegar al punto 1/8 y así ad infinitum. Así el movimiento jamás puede comenzar. El argumento aquí no lo responde labien conocida serie (suma infinita)
1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1
Por un lado, Zenón puede alegar que la suma 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... realmente nunca alcanza 1, pero dejan más perpleja a la mente humana los intentos de hacer a suma 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... hacia atrás. Antes de atravesar una distancia unitaria, debemos debemos llegar a la mitad, pero antes de llegar a la mitad habremos de recorrer 1/4 del camino, pero antes de llegar a 1/4 del camino debemos llegar a 1/8 del camino etc. Este argumento nos permite darnos cuenta de que nunca podremos arrancar, puesto que estamos tratando de construir esta suma infinita del lado “equivocado”. En efecto, éste es un astuto argumento que aún hoy en día sigue intrigando a la mente humana.
Zenón basa tanto la paradoja de la dicotomía, como su ataque, en simple pluralismo sobre el hecho de que una vez que una cosa es divisible, entonces es divisible infinitamente. Se podrían contradecir sus paradojas postulando una teoría atómica en la cual la materia estuviera compuesta de muchos pequeños elementos indivisibles. Sin embargo, otras paradojas dadas por Zenón causan problemas, precisamente porque en estos casos él considera que magnitudes aparentemente continuas están constituidas por elementos indivisibles. Tal paradoja es La Flecha y damos de nuevo la forma cómo Aristóteles describe el argumento de Zenón (a partir de una traducción de Heath [8]):-
Dice Zenón, si todo está en reposo o todo está en movimiento cuando ocupa un espacio igual a sí mismo, mientras el objeto que se mueve está en un instante, la flecha que se mueve no se mueve.
El argumento descansa en el hecho de que si en un instante indivisible la flecha se moviera, entonces en realidad este instante sería divisible (por ejemplo, en un ‘instante’ más pequeño, la flecha se habría movido la mitad de la distancia). Aristóteles argumenta contra la paradoja afirmando:-
... ya que el tiempo no está compuesto de ‘ahoras’ indivisibles, como no lo está ninguna otra magnitud..
Sin embargo, algunos consideran que esto es irrelevante para el argumento de Zenón. Más aún, negar que ‘ahora’ existe como un instante que divide el pasado del futuro parece ir también en contra de la intuición. Por supuesto, si el instante ‘ahora’ no existiese, entonces la flecha nunca ocuparía una posición particular y esto tampoco parece correcto. De nuevo, Zenón ha presentado un profundo problema que, a pesar de siglos de esfuerzos para resolverlo, parece carecer aún de una solución verdaderamente satisfactoria. Como escribe Frankel en [20]:-
La mente humana, al tratar de darse una explicación precisa del movimiento, se ve confrontada con dos aspectos del fenómeno. Ambos son inevitables pero al mismo tiempo son mutuamente excluyentes. Ya sea que veamos el flujo continuo del movimiento, por lo que nos sería imposible pensar al objeto en una posición particular, o que pensemos que el objeto ocupa cualquiera de las posiciones a través de las cuales lo lleva su recorrido, por lo que al fijar nuestro pensamiento en esa posición particular, no podemos evitar fijar al propio objeto y ponerlo en reposo por un corto instante.
Vlastos (véase [32]) señala que si utilizamos la fórmula matemática usual para la velocidad, tenemos v = s/t, donde s es la distancia recorrida y t es el tiempo que lleva recorrerla. Si miramos la velocidad en un instante, obtenemos v = 0/0, que no tiene sentido. Así, resulta justo decir que aquí Zenón está señalando una dificultad matemática que no podría ser atacada adecuadamente sin estudiar límites y cálculo diferencial, poniéndola en un contexto adecuado.
Como puede verse de la discusión anterior, las paradojas de Zenón son importantes en el desarrollo de la noción de los infinitesimales. De hecho, algunos autores afirman que Zenón dirigía sus paradojas contra aquéllos que introducían los infinitesimales. Algunos piensan que el objetivo de los argumentos de Zenón eran Anaxágoras y los seguidores de Pitágoras, con su desarrollo de los inconmensurables (véase, por ejemplo, [10]). Ciertamente parece poco probable que la razón dada por Platón, precisamente para defender la postura filosófica de Parménides, sea toda la explicación de por qué Zenón escribiera su famosa obra sobre paradojas.
El más famoso de los argumentos de Zenón es indudablemente el Aquiles. Según la traducción de Heath de la Física de Aristóteles éste es:-
... al correr, el más lento nunca será alcanzado por el más rápido, puesto que el que está persiguiendo a aquél tendrá que llegar primero al punto en el que aquél estaba cuando comenzó la huída, de tal modo que el más lento tendrá necesariamente que estar siempre alguna distancia más adelante.
La mayor parte de los autores, comenzando con Aristóteles, consideran esta paradoja como esencialmente la misma que La Dicotomía. Por ejemplo escribe Makin [25]:-
... mientras La Dicotomía pueda resolverse, El Aquiles podrá resolverse. Las resoluciones serán paralelas.
Como ocurre con casi todas las afirmaciones acerca de las paradojas de Zenón, no hay un acuerdo total sobre alguna postura particular. Por ejemplo, Toth [29] disputa la semejanza de las dos paradojas afirmando que las observaciones de Aristóteles dejan mucho que desear, y sugiere que ambos argumentos tienen estructuras enteramente diferentes.
Tanto Platón como Aristóteles no aprecian plenamente el significado de los argumentos de Zenón. Como dice Heath [8]:-
Aristóteles los llamó 'falacias' sin ser capaz de refutarlas.
Russell ciertamente no subestimó el significado de Zenón cuando escribió en [13]:-
En este caprichoso mundo nada es más caprichoso que la fama póstuma. Una de las más notables víctimas de la falta de juicio de la posteridad es el Eleático Zenón. Habiendo inventado cuatro argumentos, todos inmensamente sutiles y profundos, la rudeza de los filósofos subsecuentes hizo que lo declararon más bien como un ingenioso ilusionista, y a sus argumentos todos como sofismas. Después de dos mil años de refutación continua, estos sofismas fueron restablecidos y se convirtieron en el fundamento de un renacimiento matemático....
Aquí está pensando Russell en la obra de Cantor, Frege y de él mismo sobre el infinito, y particularmente en la de Weierstrass sobre el cálculo. En [2] se discute la relación de las paradojas con las matemáticas, y el autor llega a una conclusión semejante a la de Frankel en la cita anterior:-
Aunque frecuentemente han sido desechados como tonterías lógicas, se han hecho muchos intentos de deshacerse de ellos por medio de teoremas matemáticos, tales como la teoría de series convergentes o la teoría de conjuntos. Al final, sin embargo, las dificultades inherentes a sus argumentos siempre han retornado con una venganza, pues lamente humana está construida de tal manera que puede mirar el continuo de dos modos que no son del todo reconciliables.
Es difícil decir con precisión cuál es el efecto que las paradojas de Zenón han tenido en el desarrollo de las matemáticas griegas. B. L. van der Waerden (véase [31]) argumenta que las teorías matemáticas que se desarrollaron en la segunda mitad del siglo quinto antes de nuestra era sugieren que la obra de Zenón tuvo poca influencia. Heath, sin embargo, parece detectar una mayor influencia [8]:-
Los matemáticos, … no obstante, … al darse cuenta de que los argumentos de Zenón fueron fatales para los infinitesimales, vieron que sólo podían evitar las dificultades conectadas con ellos desterrando de una vez por todas la idea del infinito, incluso de lo potencialmente infinito, de su ciencia; impartir de ello, por tanto, no utilizaron magnitudes crecientes o decrecientes ad infinitum, sino que se contentaron con magnitudes finitas que pueden hacerse mayores o menores como nos plazca.
Comentamos arriba que Diógenes Laercio en [10] describe una cosmología que cree es debida a Zenón. De acuerdo con su descripción, Zenón propuso un universo consistente en varios mundos, compuesto de “cálido” y “frío”, “seco” y “húmedo”, pero no de un espacio vacío o lleno. Como esto no parece tener nada en común con sus paradojas, es común suponer que Diógenes Laercio está en el error. Sin embargo, hay cierta evidencia de que alrededor del siglo quinto antes de nuestra era se tenía este tipo de creencia, particularmente asociada con la teoría médica, y bien pudo haber sido la versión de Zenón de una creencia sostenida por la Escuela Eleática.
Artículo de: J J O'Connor and E F Robertson
February 1999
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MacTutor History of Mathematics
[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Zenón_of_Elea.html]
Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson
Traducido por Carlos Prieto de Castro