Karl Theodor Wilhelm Weierstrass. Nació el 31 de octubre de 1815 en Ostenfelde, Westfalia (ahora Alemania) y murió el 19 de febrero 1897 en Berlín, Alemania. El padre de Karl Weierstrass, Wilhelm Weierstrass, era secretario del alcalde de Ostenfelde cuando Karl nació. Wilhelm Weierstrass era una persona culta, con un amplio conocimiento de las artes y las ciencias. Tenía todas las posibilidades de haber alcanzado posiciones más altas que las que tuvo, y su actitud debe de haber sido una de las razones por las que los primeros pasos en la carrera de Karl Weierstrass fueron en puestos muy por debajo de sus sobresalientes capacidades. La madre de Weierstrass fue Theodora Vonderforst y Karl era el mayor de los cuatro hijos de Theodora y Wilhelm, ninguno de los cuales se casó.
Wilhelm Weierstrass se convirtió en inspector de impuestos cuando Karl tenía ocho años. Este trabajo implicó que permaneciera sólo por períodos cortos en un lugar, por lo que Karl cambiaba frecuentemente de escuela mientras la familia recorría Prusia. En 1827 murió Theodora, la madre de Karl, y un año después su padre volvió a contraer nupcias. Para 1829 Wilhelm Weierstrass se convirtió en asistente en la oficina principal de impuestos en Paderborn, y Karl ingresó al Gymnasium católico ahí. Weierstrass destacó en el Gymnasium, no obstante haber tenido que tomar un trabajo de tiempo parcial como tenedor de libros para ayudar a las finanzas de la familia.
Durante su estancia en el Gymnasium, Weierstrass ciertamente alcanzó un alto nivel en matemáticas, mucho más allá de lo que podría haberse esperado de él. Leía regularmente la revista Crelle y daba clases de matemáticas a uno de sus hermanos. Sin embargo, el padre de Weierstrass deseaba que Karl estudiara finanzas, por lo que, después de su graduación en el Gymnasium en 1834, entró a la Universidad de Bonn con un curso especial para él que incluía estudios de leyes, finanzas y economía. Para la carrera en la administración prusiana que su padre había planeado para él, el plan estaba muy bien diseñado. Pero Weierstrass sufrió por el conflicto entre obedecer los deseos de su padre y estudiar el tema que amaba, es decir, matemáticas.
El resultado del conflicto interno de Weierstrass fue que ni hizo ni los estudios de matemáticas, ni siguió el plan que le habían diseñado. Reaccionó al conflicto interno haciendo como que no le importaban sus estudios, y se pasó cuatro años de encierro y bebiendo intensamente. Biermann escribe en [1]:
... el conflicto entre su deber y su inclinación lo llevó a una fatiga física y mental. Intentó, en vano, sobreponerse a sus problemas participando en una disipada vida de estudiante ...
Estudió matemáticas por su cuenta, leyendo la Mécanique céleste de Laplace y luego un trabajo de Jacobi sobre funciones elípticas. Entendió los métodos necesarios en la teoría de funciones elípticas estudiando notas de conferencias impartidas por Gudermann. En una carta a Lie, escrita unos cincuenta años más tarde, explica cómo tomó la decisión definitiva de estudiar matemáticas, a pesar de los deseos de su padre (véase [1]):
... cuando me percaté de [una carta de Abel a Legendre] en la revista Crelle durante mis años de estudiante, [ésta] resultó de la mayor importancia. La deducción inmediata de la forma de la representación de la función dada por Abel ..., de la ecuación diferencial que define esta función, fue la primera tarea matemática que me impuse; y su afortunada solución me llevó a dedicarme plenamente a las matemáticas; tomé esta decisión en mi séptimo semestre ...
Weierstrass había tomado la decisión de convertirse en matemático, pero aún se suponía que estaba siguiendo el plan de estudios de finanzas públicas y administración. Después de tomar su decisión, pasó un semestre más en al Universidad de Bonn, su octavo semestre que terminó en 1838, y como no había estudiado las materias en las que se había inscrito, simplemente abandonó la universidad sin hacer los exámenes. Su padre estaba sumamente decepcionado por el abandono de los estudios de su hijo. Un amigo de la familia, presidente de la corte en Paderborn, convenció a Karl de estudiar en la Academia Teológica y Filosófica de Münster para presentar los exámenes necesarios para ser maestro de la escuela secundaria.
El 22 de mayo de 1839 Weierstrass se inscribió en la Academia en Münster. Gudermann daba clases en Münster y ésta fue la razón por la que Weierstrass se mostró tan dispuesto a estudiar ahí. Weierstrass tomó las clases de Gudermann sobre funciones elípticas, y después de las primeras de ellas, Gudermann le insistió a Weierstrass que continuara con sus estudios de matemáticas. Al abandonar Münster en el otoño de 1839, Weierstrass se preparó para los exámenes de maestro, para los que se inscribió en marzo de 1840. Para entonces, el padre de Weierstrass se había vuelto a cambiar de trabajo, para convertirse en director de las minas de sal en enero de 1840, y la familia vivía ahora en Westernkotten cerca de Lippstadt en el río Lippe, al oeste de Paderborn.
Por petición de Weierstrass, le dieron una pregunta sobre el artículo que recibió en mayo de 1940 acerca de la representación de de funciones elípticas, y presentó su importante investigación propia como respuesta. Gudermann evaluó el artículo y calificó la contribución de Weierstrass como:
... de igual rango que los descubrimientos que han sido coronados con gloria.
Cuando, mucho tiempo después, Weierstrass supo de los comentarios de Gudermann, dijo que, de haberlo sabido, habría publicado sus resultados. También comentó Weierstrass sobre cuán generosos habían sido los elogios de Gudermann, particularmente después de haber sido él bastante crítico de los métodos de Gudermann.
En abril de 1841 había presentado Weierstrass los exámenes orales necesarios y empezó un año de prueba como maestro en el Gymnasium de Münster. Aunque no publicó nada de matemáticas en esa época, escribió tres artículos cortos en 1841 y 1842, que se describen en [3]:
Los conceptos sobre los que basó Weierstrass su teoría de funciones de variable compleja en años posteriores a 1857 se encuentran explícitamente en sus obras inéditas escritas en Münster de 1841 a 1842, aún bajo la influencia de Gudermann. La transformación de su concepción de una función analítica, a partir de una función diferenciable a una función expandible en una serie de potencies convergente, fue realizada durante este temprano período de la actividad matemática de Weierstrass.
Weierstrass comenzó su carrera como maestro calificado de matemáticas en el Pro-Gymnasium in Deutsch Krone en Prusia Occidental (hoy Polonia) en 1842, donde permaneció hasta mudarse al Collegium Hoseanum en Braunsberg en 1848. Como maestro de matemáticas, se le requería enseñar otras materias también. Así Weierstrass enseñaba física, botánica, geografía, historia, alemán, caligrafía e incluso gimnasia. En años posteriores, Weierstrass describío “el infinito tedio y aburrimiento” de estos miserables años en los cuales [1]:
... no tenía ni un colega para tener discusiones matemáticas, ni acceso a una biblioteca matemática, y el intercambio de correspondencia científica era un lujo que no podía darse.
Desde alrededor de 1850, Weierstrass empezó a sufrir de ataques de mareo muy severos, que terminaban después de cerca de una hora en violenta enfermedad. Los frecuentes ataques durante un período de cerca de doce años le dificultaron el trabajo y se piensa que estos problemas bien pudieron haber sido causados por los conflictos mentales que había sufrido como estudiante, junto con el estrés debido a su dedicación a las matemáticas durante cada minuto libre durante la época en la que tuvo el demandante trabajo de maestro.
No es de sorprender que cuando Weierstrass publicó artículos sobre funciones abelianas en los prospectos de la escuela en Braunsberg, éstos pasaron inadvertidos para los matemáticos. Sin embargo, en 1854 publicó Zur Theorie der Abelschen Functionen (Sobre la teoría de funciones abelianas) en la revista Crelle y vaya que este artículo llamó la atención. Este artículo no incluía toda la teoría de inversión de integrales hiperelípticas que Weierstrass había desarrollado, sino que más bien dio una descripción preliminar de sus métodos que involucraban la representación de funciones abelianas como series de potencias constantemente convergentes.
Con este artículo Weierstrass salió de la obscuridad. La Universidad de Königsberg le confirió un doctorado honorario el 31 de marzo de 1854. En 1855 Weierstrass solicitó ocupar en la Universidad of Breslau la cátedra que al mudarse a Berlín dejó vacante Kummer. Kummer, sin embargo, trató de influir para que Weierstrass se fuera a Berlín, y no a Breslau, por lo que Weierstrass no obtuvo la cátedra solicitada. En una carta dirigida al ministro prusiano de cultura, escrita en 1855, Dirichlet apoyaba fuertemente que se le concediera un nombramiento universitario a Weierstrass. Los detalles están en [10].
Después de promoverlo a maestro titular en Braunsberg, Weierstrass consiguió una especie de año sabático para dedicarse al estudio avanzado de matemáticas. Ya había decidido, sin embargo, que nunca regresaría ala docencia en la escuela.
Weierstrass publicó una versión completa de su teoría de inversión de integrales hiperelípticas en su artículo siguiente, Theorie der Abelschen Functionen (Teoría de las funciones abelianas) en la revista Crelle en 1856. Varias universidades se abocaron a ofrecerle una cátedra. Mientras las universidades en Austria discutían el asunto, el Instituto Indistrial de Berlín (más adelante la Technische Hochschule – Escuela Superior Técnica) le ofreció una cátedra. Aunque habría preferido ir a la Universidad de Berlín, Weierstrass ciertamente no quería regresar al Collegium Hoseanum en Braunsberg, por lo que aceptó la oferta del instituto el 14 de junio de 1856.
Siguieron llegándole ofertas a Weierstrass, de modo que cuando asistió a una reunión en Viena en septiembre de 1856 le ofrecieron una cátedra en la universidad austriaca que él deseara. Antes de que pudiera decidir sobre esta oferta, en octubre, la Universidad de Berlín también le ofreció un puesto de profesor. Éste era el puesto que había deseado por mucho tiempo, así que lo aceptó de inmediato, aunque al haber aceptado, unos meses antes, el puesto en el Instituto Industrial, no pudo ocupar formalmente la cátedra en la Universdad de Berlín por algunos años.
Gracias a sus exitosas clases, Weierstrass atrajo estudiantes de todo el mundo. Los temarios de sus cursos incluían: la aplicación de las series y las integrals de a la física matemática (1856/57), una introducción a la teoría de las funciones analíticas (donde expusoresultados que él mismo había obtenido en 1841, pero que nunca había publicado), la teoría de las funciones elípticas (su principal tema de investigación), y aplicaciones a problemas en geometría y mecánica.
En sus cursos de 1859/60, Weierstrass impartió una introducción al análisis, donde abordó los fundamentos de la materia por primera vez. En 1860/61 impartió cálculo integral.
Ya describimos antes los problemas de salud que sufrió Weierstrass desde 1850. Aunque había alcanzado los logros con los que había soñado, su salud dio de sí en diciembre de 1861, cuando se colapsó completamente. Le tomó casi un año poder recobrarse suficientemente para volver a sus clases, pero nunca recuperó completamente su salud. Desde esta época daba sus clases sentado, mientras en vez de él, un estudiante escribía en el pizarrón. Los ataques sufridos en 1850 cesaron y fueron reemplazados por problemas en el pecho.
En su curso de 1863/64 sobre la teoría general de las funciones analíticas, Weierstrass comenzó a formular su teoría de los números reales. En sus clases de 1863, probó que los números complejos eran la única extensión algebraica conmutativa de los números reales. Gauss había prometido una demostración de este hecho en 1831 pero nunca dio ninguna.
En 1872 su énfasis en el rigor lo llevó a descubrir una función que, aun siendo continua, no tiene derivada en ningún punto. Los analistas, que dependían mucho de su intuición para sus descubrimientos, quedaron anonadados por esta anti-intuitiva función. Riemann había sugerido en 1861 que tal función podría encontrarse, pero el ejemplo que dio falló en ser no diferenciable en todos los puntos.
Las clases de Weierstrass se desarrollaron en un curso de cuatro semestres que continuó dando hasta 1890. Los cuatro cursos eran:
1. Introducción a la teoría de funciones analíticas,
2. Funciones elípticas,
3. Funciones abelianas,
4. Cálculo de variaciones o aplicaciones de las funciones elípticas.
A través de los años, los cursos se desarrollaron y se publicaron varias versiones, tales como las notas de Killing de 1868 y las de Hurwitz de 1878. El enfoque de Weierstrass aún domina la enseñanza del análisis hoy en día, y esto se ve claramente en los contenidos y el estilo de estos cursos, particularmente en el curso de introducción. Su contenido era: números, el concepto de función con el enfoque de Weierstrass con series de potencies, continuidad y diferenciabilidad, continuación analítica, puntos de singularidad, funciones analíticas de varias variables, en particular, el “teorema de preparación” de Weierstrass, e integrales de contorno.
En Berlín, Weierstrass tuvo como colegas a Kummer y Kronecker, y los tres juntos le dieron a Berlín la reputación como la mejor universidad para estudiar matemáticas. Kronecker fue amigo cercano de Weierstrass por muchos años, pero en 1877 la oposición de Kronecker al trabajo de Cantor causó una fricción entre ambos amigos. Esto llegó a un extremo en 1885, cuando Weierstrass decidió abandonar Berlín e ir a Suiza. Sin embargo, cambió de opinión y se quedó en Berlín.
Un buen número de estudiantes resultaron beneficiados por las enseñanzas de Weierstrass. Nombraremos a algunos que están mencionados en alguna otra parte de nuestras biografías (en inglés): Bachmann, Bolza, Cantor, Engel, Frobenius, Gegenbauer, Hensel, Hölder, Hurwitz, Killing, Klein, Kneser, Königsberger, Lerch, Lie, Lüroth, Mertens, Minkowski, Mittag-Leffler, Netto, Schottky, Schwarz y Stolz. Una estudiante, en particular, merece una mención especial.
En 1870 Sofia Kovalevskaya llegó a Berlín y Weierstrass le dio clases privadas pues no se le permitió su ingreso a la universidad. Ella fue, claramente, una estudiante muy especial en cuanto a lo que a Weierstrass concierne, pues él le escribió a ella que él:
... soñaba y estaba embelesado por todos los acertijos que nos quedan por resolver, sobre espacios finitos e infinitos, sobre la estabilidad del sistema mundial, y sobre todos los otros problemas sobre las matemáticas y la física del futuro. ... has sido cercana ... a través de toda mi vida ... y nunca he encontrado a nadie que me permitiera llegar a un entendimiento de los propósitos más altos de la ciencia y que tuviera una feliz coincidencia con mis intenciones y principios básicos, como tú.
Fue gracias a los esfuerzos de Weierstrass que Kovalevskaya recibió un doctorado honorario de Göttingen, y también ejerció su influencia para ayudarle a obtener un puesto en Estocolmo en 1883. Weierstrass y Kovalevskaya mantuvieron correspondencia durante veinte años entre 1871 y 1890. Intercambiaron más de 160 cartas (vénse [5], [7] etc.), pero Weierstrass quemó las cartas de Kovalevskaya después de la muerte de ésta.
Los estándares de rigor que se impuso Weierstrass para definir, por ejemplo, los números irracionales como límites de series convergentes, afectaron fuertemente el futuro de las matemáticas. También estudió las funciones enteras, la noción de convergencia uniforme y las funciones definidas por productos infinitos. Sus esfuerzos se resumen en [2] como sigue:
Conocido como el padre del análisis moderno, Weierstrass diseñó pruebas para la convergencia de series y contribuyó a la teoría de funciones periódicas, funciones de variables reales, funciones elipticas, funciones abelianas, productos infinitos convergentes, y el cálculo de variaciones. También tuvo avances en la teoría de formas cuadráticas bilineales.
Weierstrass publicó poco [1]:
... su actitud crítica invariablemente lo obligó a basar cualquier análisis sobre una base firme, partiendo de un enfoque fresco y revisándolo y expandiéndolo continuamente.
Sin embargo, editó las obras completas de Steiner y las de Jacobi. Decidió supervisar la publicación de sus propias obras completas, y en su caso, incluyendo una gran cantidad de material inédito de sus clases. Weierstrass se percató de que sin su ayuda, ésta habría sido una tarea difícil. Los primeros dos volúmenes aparecieron en 1894 y 1895, y fueron los únicos que lo hicieron antes de su muerte en 1897. Sus últimos años fueron difíciles [1]:
Durante sus últimos tres años, estuvo confinado en una silla de ruedas, inmóvil y dependiente. Murió de neumonía.
Los volúmenes restantes de de sus Obras completas fueron apareciendo poco a poco; el volumen 3 en 1903, el volumen 4 en 1902, los volúmenes 5 y 6 en 1915 y el volumen 7 en 1927. Los siete volúmenes se reimprimieron en 1967. Hoy en día se continua publicando, particularmente, versiones de sus cursos tomadas de las notas elaboradas por sus alumnos.
El resultado del conflicto interno de Weierstrass fue que ni hizo ni los estudios de matemáticas, ni siguió el plan que le habían diseñado. Reaccionó al conflicto interno haciendo como que no le importaban sus estudios, y se pasó cuatro años de encierro y bebiendo intensamente. Biermann escribe en [1]:
... el conflicto entre su deber y su inclinación lo llevó a una fatiga física y mental. Intentó, en vano, sobreponerse a sus problemas participando en una disipada vida de estudiante ...
Estudió matemáticas por su cuenta, leyendo la Mécanique céleste de Laplace y luego un trabajo de Jacobi sobre funciones elípticas. Entendió los métodos necesarios en la teoría de funciones elípticas estudiando notas de conferencias impartidas por Gudermann. En una carta a Lie, escrita unos cincuenta años más tarde, explica cómo tomó la decisión definitiva de estudiar matemáticas, a pesar de los deseos de su padre (véase [1]):
... cuando me percaté de [una carta de Abel a Legendre] en la revista Crelle durante mis años de estudiante, [ésta] resultó de la mayor importancia. La deducción inmediata de la forma de la representación de la función dada por Abel ..., de la ecuación diferencial que define esta función, fue la primera tarea matemática que me impuse; y su afortunada solución me llevó a dedicarme plenamente a las matemáticas; tomé esta decisión en mi séptimo semestre ...
Weierstrass había tomado la decisión de convertirse en matemático, pero aún se suponía que estaba siguiendo el plan de estudios de finanzas públicas y administración. Después de tomar su decisión, pasó un semestre más en al Universidad de Bonn, su octavo semestre que terminó en 1838, y como no había estudiado las materias en las que se había inscrito, simplemente abandonó la universidad sin hacer los exámenes. Su padre estaba sumamente decepcionado por el abandono de los estudios de su hijo. Un amigo de la familia, presidente de la corte en Paderborn, convenció a Karl de estudiar en la Academia Teológica y Filosófica de Münster para presentar los exámenes necesarios para ser maestro de la escuela secundaria.
El 22 de mayo de 1839 Weierstrass se inscribió en la Academia en Münster. Gudermann daba clases en Münster y ésta fue la razón por la que Weierstrass se mostró tan dispuesto a estudiar ahí. Weierstrass tomó las clases de Gudermann sobre funciones elípticas, y después de las primeras de ellas, Gudermann le insistió a Weierstrass que continuara con sus estudios de matemáticas. Al abandonar Münster en el otoño de 1839, Weierstrass se preparó para los exámenes de maestro, para los que se inscribió en marzo de 1840. Para entonces, el padre de Weierstrass se había vuelto a cambiar de trabajo, para convertirse en director de las minas de sal en enero de 1840, y la familia vivía ahora en Westernkotten cerca de Lippstadt en el río Lippe, al oeste de Paderborn.
Por petición de Weierstrass, le dieron una pregunta sobre el artículo que recibió en mayo de 1940 acerca de la representación de de funciones elípticas, y presentó su importante investigación propia como respuesta. Gudermann evaluó el artículo y calificó la contribución de Weierstrass como:
... de igual rango que los descubrimientos que han sido coronados con gloria.
Cuando, mucho tiempo después, Weierstrass supo de los comentarios de Gudermann, dijo que, de haberlo sabido, habría publicado sus resultados. También comentó Weierstrass sobre cuán generosos habían sido los elogios de Gudermann, particularmente después de haber sido él bastante crítico de los métodos de Gudermann.
En abril de 1841 había presentado Weierstrass los exámenes orales necesarios y empezó un año de prueba como maestro en el Gymnasium de Münster. Aunque no publicó nada de matemáticas en esa época, escribió tres artículos cortos en 1841 y 1842, que se describen en [3]:
Los conceptos sobre los que basó Weierstrass su teoría de funciones de variable compleja en años posteriores a 1857 se encuentran explícitamente en sus obras inéditas escritas en Münster de 1841 a 1842, aún bajo la influencia de Gudermann. La transformación de su concepción de una función analítica, a partir de una función diferenciable a una función expandible en una serie de potencies convergente, fue realizada durante este temprano período de la actividad matemática de Weierstrass.
Weierstrass comenzó su carrera como maestro calificado de matemáticas en el Pro-Gymnasium in Deutsch Krone en Prusia Occidental (hoy Polonia) en 1842, donde permaneció hasta mudarse al Collegium Hoseanum en Braunsberg en 1848. Como maestro de matemáticas, se le requería enseñar otras materias también. Así Weierstrass enseñaba física, botánica, geografía, historia, alemán, caligrafía e incluso gimnasia. En años posteriores, Weierstrass describío “el infinito tedio y aburrimiento” de estos miserables años en los cuales [1]:
... no tenía ni un colega para tener discusiones matemáticas, ni acceso a una biblioteca matemática, y el intercambio de correspondencia científica era un lujo que no podía darse.
Desde alrededor de 1850, Weierstrass empezó a sufrir de ataques de mareo muy severos, que terminaban después de cerca de una hora en violenta enfermedad. Los frecuentes ataques durante un período de cerca de doce años le dificultaron el trabajo y se piensa que estos problemas bien pudieron haber sido causados por los conflictos mentales que había sufrido como estudiante, junto con el estrés debido a su dedicación a las matemáticas durante cada minuto libre durante la época en la que tuvo el demandante trabajo de maestro.
No es de sorprender que cuando Weierstrass publicó artículos sobre funciones abelianas en los prospectos de la escuela en Braunsberg, éstos pasaron inadvertidos para los matemáticos. Sin embargo, en 1854 publicó Zur Theorie der Abelschen Functionen (Sobre la teoría de funciones abelianas) en la revista Crelle y vaya que este artículo llamó la atención. Este artículo no incluía toda la teoría de inversión de integrales hiperelípticas que Weierstrass había desarrollado, sino que más bien dio una descripción preliminar de sus métodos que involucraban la representación de funciones abelianas como series de potencias constantemente convergentes.
Con este artículo Weierstrass salió de la obscuridad. La Universidad de Königsberg le confirió un doctorado honorario el 31 de marzo de 1854. En 1855 Weierstrass solicitó ocupar en la Universidad of Breslau la cátedra que al mudarse a Berlín dejó vacante Kummer. Kummer, sin embargo, trató de influir para que Weierstrass se fuera a Berlín, y no a Breslau, por lo que Weierstrass no obtuvo la cátedra solicitada. En una carta dirigida al ministro prusiano de cultura, escrita en 1855, Dirichlet apoyaba fuertemente que se le concediera un nombramiento universitario a Weierstrass. Los detalles están en [10].
Después de promoverlo a maestro titular en Braunsberg, Weierstrass consiguió una especie de año sabático para dedicarse al estudio avanzado de matemáticas. Ya había decidido, sin embargo, que nunca regresaría ala docencia en la escuela.
Weierstrass publicó una versión completa de su teoría de inversión de integrales hiperelípticas en su artículo siguiente, Theorie der Abelschen Functionen (Teoría de las funciones abelianas) en la revista Crelle en 1856. Varias universidades se abocaron a ofrecerle una cátedra. Mientras las universidades en Austria discutían el asunto, el Instituto Indistrial de Berlín (más adelante la Technische Hochschule – Escuela Superior Técnica) le ofreció una cátedra. Aunque habría preferido ir a la Universidad de Berlín, Weierstrass ciertamente no quería regresar al Collegium Hoseanum en Braunsberg, por lo que aceptó la oferta del instituto el 14 de junio de 1856.
Siguieron llegándole ofertas a Weierstrass, de modo que cuando asistió a una reunión en Viena en septiembre de 1856 le ofrecieron una cátedra en la universidad austriaca que él deseara. Antes de que pudiera decidir sobre esta oferta, en octubre, la Universidad de Berlín también le ofreció un puesto de profesor. Éste era el puesto que había deseado por mucho tiempo, así que lo aceptó de inmediato, aunque al haber aceptado, unos meses antes, el puesto en el Instituto Industrial, no pudo ocupar formalmente la cátedra en la Universdad de Berlín por algunos años.
Gracias a sus exitosas clases, Weierstrass atrajo estudiantes de todo el mundo. Los temarios de sus cursos incluían: la aplicación de las series y las integrals de a la física matemática (1856/57), una introducción a la teoría de las funciones analíticas (donde expusoresultados que él mismo había obtenido en 1841, pero que nunca había publicado), la teoría de las funciones elípticas (su principal tema de investigación), y aplicaciones a problemas en geometría y mecánica.
En sus cursos de 1859/60, Weierstrass impartió una introducción al análisis, donde abordó los fundamentos de la materia por primera vez. En 1860/61 impartió cálculo integral.
Ya describimos antes los problemas de salud que sufrió Weierstrass desde 1850. Aunque había alcanzado los logros con los que había soñado, su salud dio de sí en diciembre de 1861, cuando se colapsó completamente. Le tomó casi un año poder recobrarse suficientemente para volver a sus clases, pero nunca recuperó completamente su salud. Desde esta época daba sus clases sentado, mientras en vez de él, un estudiante escribía en el pizarrón. Los ataques sufridos en 1850 cesaron y fueron reemplazados por problemas en el pecho.
En su curso de 1863/64 sobre la teoría general de las funciones analíticas, Weierstrass comenzó a formular su teoría de los números reales. En sus clases de 1863, probó que los números complejos eran la única extensión algebraica conmutativa de los números reales. Gauss había prometido una demostración de este hecho en 1831 pero nunca dio ninguna.
En 1872 su énfasis en el rigor lo llevó a descubrir una función que, aun siendo continua, no tiene derivada en ningún punto. Los analistas, que dependían mucho de su intuición para sus descubrimientos, quedaron anonadados por esta anti-intuitiva función. Riemann había sugerido en 1861 que tal función podría encontrarse, pero el ejemplo que dio falló en ser no diferenciable en todos los puntos.
Las clases de Weierstrass se desarrollaron en un curso de cuatro semestres que continuó dando hasta 1890. Los cuatro cursos eran:
1. Introducción a la teoría de funciones analíticas,
2. Funciones elípticas,
3. Funciones abelianas,
4. Cálculo de variaciones o aplicaciones de las funciones elípticas.
A través de los años, los cursos se desarrollaron y se publicaron varias versiones, tales como las notas de Killing de 1868 y las de Hurwitz de 1878. El enfoque de Weierstrass aún domina la enseñanza del análisis hoy en día, y esto se ve claramente en los contenidos y el estilo de estos cursos, particularmente en el curso de introducción. Su contenido era: números, el concepto de función con el enfoque de Weierstrass con series de potencies, continuidad y diferenciabilidad, continuación analítica, puntos de singularidad, funciones analíticas de varias variables, en particular, el “teorema de preparación” de Weierstrass, e integrales de contorno.
En Berlín, Weierstrass tuvo como colegas a Kummer y Kronecker, y los tres juntos le dieron a Berlín la reputación como la mejor universidad para estudiar matemáticas. Kronecker fue amigo cercano de Weierstrass por muchos años, pero en 1877 la oposición de Kronecker al trabajo de Cantor causó una fricción entre ambos amigos. Esto llegó a un extremo en 1885, cuando Weierstrass decidió abandonar Berlín e ir a Suiza. Sin embargo, cambió de opinión y se quedó en Berlín.
Un buen número de estudiantes resultaron beneficiados por las enseñanzas de Weierstrass. Nombraremos a algunos que están mencionados en alguna otra parte de nuestras biografías (en inglés): Bachmann, Bolza, Cantor, Engel, Frobenius, Gegenbauer, Hensel, Hölder, Hurwitz, Killing, Klein, Kneser, Königsberger, Lerch, Lie, Lüroth, Mertens, Minkowski, Mittag-Leffler, Netto, Schottky, Schwarz y Stolz. Una estudiante, en particular, merece una mención especial.
En 1870 Sofia Kovalevskaya llegó a Berlín y Weierstrass le dio clases privadas pues no se le permitió su ingreso a la universidad. Ella fue, claramente, una estudiante muy especial en cuanto a lo que a Weierstrass concierne, pues él le escribió a ella que él:
... soñaba y estaba embelesado por todos los acertijos que nos quedan por resolver, sobre espacios finitos e infinitos, sobre la estabilidad del sistema mundial, y sobre todos los otros problemas sobre las matemáticas y la física del futuro. ... has sido cercana ... a través de toda mi vida ... y nunca he encontrado a nadie que me permitiera llegar a un entendimiento de los propósitos más altos de la ciencia y que tuviera una feliz coincidencia con mis intenciones y principios básicos, como tú.
Fue gracias a los esfuerzos de Weierstrass que Kovalevskaya recibió un doctorado honorario de Göttingen, y también ejerció su influencia para ayudarle a obtener un puesto en Estocolmo en 1883. Weierstrass y Kovalevskaya mantuvieron correspondencia durante veinte años entre 1871 y 1890. Intercambiaron más de 160 cartas (vénse [5], [7] etc.), pero Weierstrass quemó las cartas de Kovalevskaya después de la muerte de ésta.
Los estándares de rigor que se impuso Weierstrass para definir, por ejemplo, los números irracionales como límites de series convergentes, afectaron fuertemente el futuro de las matemáticas. También estudió las funciones enteras, la noción de convergencia uniforme y las funciones definidas por productos infinitos. Sus esfuerzos se resumen en [2] como sigue:
Conocido como el padre del análisis moderno, Weierstrass diseñó pruebas para la convergencia de series y contribuyó a la teoría de funciones periódicas, funciones de variables reales, funciones elipticas, funciones abelianas, productos infinitos convergentes, y el cálculo de variaciones. También tuvo avances en la teoría de formas cuadráticas bilineales.
Weierstrass publicó poco [1]:
... su actitud crítica invariablemente lo obligó a basar cualquier análisis sobre una base firme, partiendo de un enfoque fresco y revisándolo y expandiéndolo continuamente.
Sin embargo, editó las obras completas de Steiner y las de Jacobi. Decidió supervisar la publicación de sus propias obras completas, y en su caso, incluyendo una gran cantidad de material inédito de sus clases. Weierstrass se percató de que sin su ayuda, ésta habría sido una tarea difícil. Los primeros dos volúmenes aparecieron en 1894 y 1895, y fueron los únicos que lo hicieron antes de su muerte en 1897. Sus últimos años fueron difíciles [1]:
Durante sus últimos tres años, estuvo confinado en una silla de ruedas, inmóvil y dependiente. Murió de neumonía.
Los volúmenes restantes de de sus Obras completas fueron apareciendo poco a poco; el volumen 3 en 1903, el volumen 4 en 1902, los volúmenes 5 y 6 en 1915 y el volumen 7 en 1927. Los siete volúmenes se reimprimieron en 1967. Hoy en día se continua publicando, particularmente, versiones de sus cursos tomadas de las notas elaboradas por sus alumnos.
Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson
Traducido por Carlos Prieto de Castro