Georg Friedrich Bernhard Riemann. Nació el 17 de septiembre de 1826 en Breselenz, Hannover (ahora Alemania) y murió el 20 de julio de 1866 en Selasca, Italia. Su padre, Friedrich Bernhard Riemann, fue ministro luterano. Friedrich Riemann se casó con Charlotte Ebell cuando tenía ya mediana edad. Bernhard fue el segundo de seis hijos, dos hombres y cuatro mujeres. Friedrich Riemann fungió como maestro de su hijo y a Bernhard le enseñó hasta que tuvo diez años. Fue entonces que un maestro de una escuela local, de apellido Schulz, apoyó a Bernhard en su educación.
En 1840 Bernhard entró directamente al tercer grado del Liceo de Hannover. Durante su estancia en él, vivía con su abuela, pero en 1842 ella murió y Bernhard se cambió al Johanneum Gymnasium en Lüneburg. Bernhard parece haber sido un buen alumno, pero no sobresaliente, que trabajaba duro en materias clásicas como hebreo y teología. Mostraba particular interés en las matemáticas y el director del Gymnasium le permitió estudiar textos de matemáticas de su biblioteca personal. En una ocasión le prestó a Bernhard el libro de Legendre sobre teoría de números y Bernhard leyó las 900 páginas en seis días.
En la primavera de 1846 Riemann ingresó en la Universidad de Göttingen. Su padre lo había animado a estudiar teología por lo que entró a la correspondiente facultad. Sin embargo, asistió a algunas clases de matemáticas y pidió permiso a su padre de cambiarse a la facultad de filosofía, para poder estudiar matemáticas. Riemann siempre se mantuvo muy cercano a su familia y jamás habría cambiado su carrera sin el permiso de su padre. Éste se lo otorgó y Riemann oyó cursos de matemáticas de Moritz Stern y Gauss.
Podría pensarse que Riemann estaba en el sitio ideal para estudiar matemáticas en Göttingen, pero entonces la Universidad de Göttingen era un lugar bastante pobre en matemáticas. Gauss no le dio clase a Riemann, pues sólo impartía cursos elementales y no hay evidencia de que hubiera descubierto entonces la genialidad de Riemann. Stern, sin embargo, sí se dio cuenta de que tenía un estudiante notable, y posteriormente describió a Riemann en esta época diciendo que:-
...ya cantaba como un canario.
Riemann se mudó de Göttingen a la Universidad de Berlín en la primavera de 1847 para estudiar con Steiner, Jacobi, Dirichlet y Eisenstein. Ésta fue una importante etapa para Riemann. Aprendió mucho de Eisenstein y discutió el uso de las variables complejas en la teoría de funciones elípticas. La principal influencia en esta época la recibió Riemann de Dirichlet. Klein escribe en [4]:
Riemann se sintió ligado a Dirichlet por la fuerte simpatía interna de un modo de pensar similar. Dirichlet adoraba aclararse a sí mismo las cosas de manera intuitiva; con ello, podía plantear agudos análisis lógicos y preguntas fundamentales y podía evitar largos cálculos tanto como era posible. Su estilo le agradaba a, quien lo adoptó y trabajó de acuerdo con los métodos de Dirichlet.
El trabajo de Riemann siempre se basó en un razonamiento intuitivo que caía un poco abajo del rigor requerido para hacer inapelables las conclusiones. Sin embargo, las brillantes ideas que contienen sus obras son mucho más claras pues su trabajo no está saturado con cálculos largos. Fue durante su época en la Universidad de Berlín que Riemann elaboró su teoría general de variable compleja que constituyó la base de parte de su más importante trabajo.
En 1849 regresó a Göttingen y en 1851 entregó para su revisión su tesis doctoral que había sido supervisada por Gauss. Sin embargo, no sólo fue Gauss quien influyó fuertemente en Riemann en esta época. Weber había retornado de Leipzig a ocupar una cátedra de física en Göttingen durante la época en la que Riemann estaba en Berlín, y Riemann fue su asistente por 18 meses. También Listing había sido nombrado profesor de física en Göttingen en 1849. Gracias a Weber y a Listing Riemann recibió una sólida formación en física teórica y de Listing también aprendió ideas importantes de la topología que tuvieron gran influencia en su importante investigación.
En su tesis Riemann estudió la teoría de variable compleja y, en particular, lo que ahora llamamos superficies de Riemann. Por tanto, introdujo métodos topológicos en la teoría de funciones complejas. La obra se sustenta en los fundamentos de la teoría de variables complejas de Cauchy, que había sido construida a lo largo de muchos años, y en las ideas de Puiseux sobre puntos de ramificación. Sin embargo, la tesis de Riemann es una obra asombrosamente original en la que examinó las propiedades geométricas de las funciones analíticas, de las aplicaciones conformes y la conexidad de superficies.
Para probar algunos de los resultados de su tesis, Riemann utilizó un principio variacional al que posteriormente llamó principio de Dirichlet, ya que lo aprendió en unas conferencias de Dirichlet en Berlín. Sin embargo, el principio de Dirichlet no se originó con Dirichlet, pues Gauss, Green y Thomson ya lo habían utilizado. La tesis de Riemann, una de las obras matemáticas más notables que hayan aparecido como tesis doctoral, fue defendida el 16 de diciembre de 1851. En su informe sobre la tesis, Gauss describió a Riemann como alguien que tiene:
... una originalidad gloriosamente fértil.
Por recomendación de Gauss, Riemann obtuvo una posición en Göttingen donde trabajó en su habilitación, grado que le habría de permitir la impartición de clases. Pasó treinta meses trabajando en su trabajo de habilitación, que trató sobre la representabilidad de funciones por series trigonométricas. Dio condiciones para que una función tenga una integral, la que ahora llamamos la condición de integrabilidad de Riemann. En la segunda parte del trabajo estudió el problema, que él mismo describió en estas palabras:
Mientras trabajos anteriores han mostrado que si una función posee tal o cual propiedad, entonces puede representarse por una serie de Fourier, planteamos aquí la pregunta inversa: si una función puede representarse por una serie trigonométrica, qué se puede decir de su comportamiento.
Para completar su habilitación, Riemann tuvo que sustentar una ponencia. Preparó tres ponencias, dos sobre electricidad y una sobre geometría. Gauss tuvo que elegir una de las para que la impartiera Riemann y, contra las expectativas de Riemann, Gauss eligió la de geometría. La plática de Riemann Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sobre las hipótesis que subyacen a la geometría), presentada el 10 de junio de 1854, se convirtió en un clásico de las matemáticas.
Hubo dos partes en la plática de Riemann. En la primera planteó el problema de cómo definir un espacio n-dimensional y terminó dando la definición de lo que hoy llamamos espacio riemanniano. Freudenthal escribe en [1]:
Posee líneas más cortas, ahora llamadas geodésicas, que se parecen a líneas rectas ordinarias. De hecho, en primera aproximación, en un sistema coordenado geodésico una tal métrica es euclidiana plana de igual forma que una superficie curva se ve como su plano tangente, salvo por términos de orden superior. Seres que vivan sobre la superficie pueden descubrir la curvatura de su mundo y calcularla en cualquier punto como una consecuencia de desviaciones del teorema de Pitágoras que se observen.
De hecho, el punto principal de esta parte de la plática de Riemann fue la definición del tensor de curvatura. En la segunda parte de su conferencia, Riemann planteó profundas preguntas acerca de la relación entre la geometría y el mundo en que vivimos. Preguntó lo que es la dimensión del espacio real y qué geometría lo describe. La plática fue demasiado avanzada en su época para ser apreciada por la mayoría de los científicos de entonces. Monastyrsky escribe en [6]:
En la audiencia de Riemann, sólo Gauss pudo apreciar la profundidad de los pensamientos de Riemann. ... La plática superó todas sus expectativas y lo sorprendió gratamente. Al regresar a la reunión de la facultad, le comentó a Wilhelm Weber, con grandes elogios y raro entusiasmo, acerca de la profundidad de las ideas que había presentado Riemann.
No fue comprendido del todo hasta sesenta años después. Freudenthal escribe en [1]:
La teoría de la relatividad general justificó espléndidamente su trabajo. En el aparato matemático desarrollado a partir de la ponencia de Riemann, encontró Einstein el marco para ajustar sus ideas físicas, su cosmología y cosmogonía; y el espíritu de la conferencia de Riemann fue justamente lo que la física necesitaba: la estructura médica determinada por datos.
Así, la brillante obra de Riemann le permitió comenzar a enseñar. Sin embargo [6]:
Poco antes, en septiembre, leyó un informe "Sobre las leyes de la distribución de la electricidad estática" en una sesión de la Sociedad de Göttingen de Investigadores Científicos y de Médicos. En una carta a su padre, Riemann recordaba, entre otras cosas, "el haber hablado en una reunión científica resultó útil para mis clases". En octubre se puso a trabajar en sus clases sobre ecuaciones diferenciales parciales. Las cartas de Riemann a su adorado padre, estaban llenas de comentarios sobre las dificultades con que se encontró. Aunque sólo asistían a su clase ocho estudiantes, Riemann estaba muy contento. Gradualmente fue superando su timidez natural y estableció una buena relación con su audiencia..
La cátedra de Gauss en Göttingen fue ocupada por Dirichlet en 1855. En este momento hubo un intento de otorgarle a Riemann una cátedra personal, que fue fallido. Dos años después, sin embargo, fue nombrado profesor y, en el mismo año, 1857, fue publicada otra de sus obras maestras. El artículo Teoría de funciones abelianas fue el resultado de trabajo realizado durante varios años y que había estado contenido en un curso impartido a tres personas en 1855-56. Uno de los tres fue Dedekind, quien logró hacer disponible la belleza de las clases de Riemann al publicar el material después de la temprana muerte de Riemann.
El artículo sobre funciones abelianas comenzó donde terminó su disertación doctoral y continuó el desarrollo de la idea de las superficies de Riemann y sus propiedades topológicas. Examinó funciones multivaluadas como funciones monovaluadas sobre una superficie de Riemann específica, y resolvió problemas de inversión general que habían sido resueltos para integrales elípticas por Abel y Jacobi. Sin embargo, Riemann no fue el único matemático que trabajó en esas ideas. Klein escribe en [4]:
... cuando Weierstrass presentó un primer tratado de funciones abelianas generales a la Academia de Berlín en 1857, el artículo de Riemann sobre el mismo tema apareció en el Crelle Journal, volumen 54. Contenía tantos conceptos nuevos, inesperados, que Weierstrass retiró su artículo y, de hecho, no volvió a publicar.
El principio de Dirichlet, que Riemann había usado en su tesis doctoral, lo volvió a utilizar para los resultados de su artículo de 1857. Weierstrass, sin embargo, mostró que había un problema con el principio de Dirichlet. Klein escribe [4]:
La mayoría de los matemáticos se distanció de Riemann ... Riemann tenía una opinión bastante diferente. Reconocía plenamente la justeza y corrección de la crítica de Weierstrass, pero decía, como alguna vez me lo dijo Weierstrass, que apeló al principio de Dirichlet sólo como una herramienta conveniente que estaba a la mano, y que sus teoremas de existencia seguían siendo correctos.
Al final de este artículo volveremos a indicar cómo surgió el problema en el uso del principio de Dirichlet en la obra de Riemann.
En 1858 Betti, Casorati y Brioschi visitaron Göttingen y Riemann discutió con ellos sus ideas en topología. Esto le proporcionó a Riemann un particular placer y quizá Betti, en particular, aprovechó su encuentro con Riemann. Estos encuentros se renovaron cuando Riemann visitó a Betti en Italia en 1863. En [16] se reproducen dos cartas de Betti, que muestran las ideas topológicas que aprendió de Riemann.
En 1859 Dirichlet murió y a Riemann le fue otorgada una cátedra de matemáticas en Göttingen el 30 de julio. Unos cuantos días después fue elegido miembro de la Academia de Ciencias de Berlín. Había sido propuesto por tres de los matemáticos de Berlín, Kummer, Borchardt y Weierstrass. Su propuesta decía [6]:
Previo a la aparición de su más reciente obra [Teoría de funciones abelianas], Riemann era casi desconocido para los matemáticos. De alguna manera, esta circunstancia excusa de la necesidad de un examen más detallado de sus obras como base de esta presentación. Consideramos nuestro deber llamar la atención de la Academia a nuestro colega, a quien recomendamos no como un joven talento con grandes esperanzas, sino como un investigador completamente maduro e independiente en nuestra área de la ciencia, cuyo progreso ha sido en gran medida promovido por él.
Un miembro de la Academia de Ciencias de Berlín recién elegido debe informar sobre sus más recientes hallazgos, y Riemann envió un informe Sobre el número de primos menores que una magnitud dada, una más de sus grandes obras maestras que cambiaron de manera significativa la dirección de la investigación matemática. En ella, Riemann examinó la función zeta
que ya había sido considerada por Euler. Aquí, la suma es sobre todos los números naturales n mientras que el producto es sobre todos los números primos. Riemann consideró una pregunta muy diferente a la que Euler había considerado, pues el veía la función zeta como una función compleja en vez de como una función real. Excepto por unas cuantas excepciones triviales, las raíces de (s) yacen todas entre 0 y 1. En su artículo afirmaba que la función zeta tiene una infinidad de raíces no triviales y que parecía probable que todas ellas tuvieran parte real ½. Ésta es la famosa hipótesis de Riemann que aún sigue siendo uno de los más importantes problemas no resueltos de las matemáticas.
Riemann estudió la representación en series de la función zeta y encontró una ecuación funcional para la función zeta. El principal propósito del artículo fue estimar el número de primos menores que un número dado. Muchos de los resultados que Riemann obtuvo fueron probados posteriormente por Hadamard y de la Vallée Poussin.
En junio de 1862 Riemann se casó con Elise Koch, amiga de su hermana. Tuvieron una hija. En el otoño del año de su boda, Riemann pescó un terrible resfriado que se transformó en tuberculosis. Nunca gozó de buena salud en su vida y sus problemas serios de salud datan posiblemente de mucho antes que pescara este resfriado. De hecho, su madre murió cuando Riemann tenía 20, mientras que su hermano y sus tres hermanas murieron todos jóvenes. Riemann trató de luchar contra su enfermedad yéndose al clima más benigno de Italia.
Pasó en Sicilia el invierno de 1862-63 y viajó por Italia, donde visitó a Betti y a otros matemáticos italianos que habían visitado Göttingen en junio de 1863, pero su salud pronto se deterioró y regresó a Italia. Después de pasar de agosto de 1864 a octubre de1865 en el norte de Italia, Riemann regresó a Göttingen para el invierno de 1865-66, luego regresó a Selasca en las márgenes del lago Maggiore el 16 de junio de 1866. Dedekind escribe en [3]:
Su fuerza declinó rápidamente y él mismo sintió que su fin estaba cerca. Pero el día anterior a su muerte, sentado bajo una higuera con su alma plena de gozo por el glorioso paisaje, trabajó en su obra final, la cual, desafortunadamente, quedó inconclusa.
Finalmente, regresemos a la actitud crítica de Weierstrass sobre el uso del principio de Dirichlet. Weierstrass había probado que una función minimizadora no estaba garantizada por el principio de Dirichlet. Esto tuvo el efecto de hacer que la gente dudara de los métodos de Riemann. Freudenthal escribe en [1]:-
Todos usaban el material de Riemann, pero sus métodos eran ignorados enteramente. ... Durante el resto del siglo, los resultados de Riemann ejercieron una tremenda influencia: pero su pensamiento, poca.
Weierstrass creía firmemente en los resultados de Riemann, a pesar de su propio descubrimiento del problema con el principio de Dirichlet. Le pidió a su estudiante Hermann Schwarz que tratara de encontrar otras pruebas para los teoremas de existencia de Riemann, que no usara el principio de Dirichlet. Se las arregló para hacerlo durante 1869-70. Klein, sin embargo, estaba fascinado por el enfoque geométrico de Riemann, y escribió un libro en 1892 para dar su versión de la obra de Riemann, escrita muy en el espíritu de Riemann. Freudenthal escribe en [1]:
Es un libro hermoso, y sería interesante saber cómo fue recibido. Probablemente muchos se sintieron ofendidos por su falta de rigor: Klein estaba demasiado cercano a la imagen de Riemann, para ser convincente para la gente que no creería en este último.
En 1901 Hilbert enmendó el enfoque de Riemann dando la forma correcta del principio de Dirichlet necesario para hacer rigurosas las pruebas de Riemann. Sin embargo, la búsqueda de una demostración rigurosa no había sido una pérdida de tiempo, ya que muchas ideas algebraicas importantes fueron descubiertas por Clebsch, Gordan, Brill y Max Noether, cuando trataban de probar los resultados de Riemann. Monastyrsky escribe en [6]:
Es difícil recordar otro ejemplo en la historia de las matemáticas del siglo diecinueve, en el que la lucha por lograr una prueba rigurosa haya conducido a resultados tan productivos.
Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson