Poincaré, Henri.Nació el 29 de abril de 1854 en Nancy, Lorena, Francia, y murió el 17 de julio de 1912 en París, Francia. Su padre fue Léon Poincaré y su madre fue Eugénie Launois. Tenían 26 y 24 años de edad, respectivamente, al momento del nacimiento de Henri, quien nació en Nancy, donde su padre era Profesor de Medicina en la Universidad.
La familia de Léon Poincaré produjo otros hombres distinguidos durante la vida de Henri. Raymond Poincaré, quien fue primer ministro de Francia varias veces y presidente de la República Francesa durante la Primera Guerra Mundial, era el hijo mayor de Antoine Poincaré, hermano de Léon Poincaré. El segundo de los hijos de Antoine Poincaré, Lucien Poincaré, alcanzó un alto rango en la administración de la Universidad.
Henri era [2][62]:
... ambidiestro y miope; durante su infancia tuvo una pobre coordinación muscular y por un tiempo estuvo seriamente enfermo de difteria. Recibió instrucción especial de su muy dotada madre y alcanzó niveles de excelencia en composición escrita cuando aún estaba en la escuela elemental.
En 1862 Henri entró al Liceo en Nancy (que ahora lleva el nombre Lycée Henri Poincaré en su honor). Pasó once años en el Liceo, tiempo durante el cual demostró ser uno de los mejores alumnos en todas las materias que cursó. Henri era descrito por su maestro de matemáticas como un “monstruo de las matemáticas” y ganó premios en el llamado “concours général”, una competencia entre los mejores alumnos de todos los liceos de Francia.
Poincaré ingresó en la École Polytechnique en 1873 y se graduó en 1875. Estaba mucho más adelantado que todos los demás estudiantes en matemáticas pero, quizás no sorprendentemente, dada su pobre coordinación, no tenía un desempeño mejor que el promedio en ejercicio físico y en arte. La música era otro de sus intereses, pero aunque disfrutaba escuchándola, sus intentos por aprender a tocar el piano durante su estancia en la École Polytechnique no tuvieron éxito. Poincaré leía muchísimo, empezando por textos de ciencia popular y de ahí hacia textos más avanzados. Tenía una notable memoria y retenía mucho de los textos que leía, mas no aprendiendo de memoria, sino relacionando las ideas que asimilaba particularmente en forma visual. Su habilidad de visualizar lo que escuchaba le resultó particularmente útil cuando asistía a conferencias, ya que su vista era tan pobre que no podía leer adecuadamente lo que se escribía en el pizarrón.
Después de graduarse de la École Polytechnique, Poincaré continuó sus estudios en la École des Mines. Sus [20][63]:
...meticulosas notas, tomadas en las excursiones de campo cuando era estudiante, exhibían un conocimiento profundo de los métodos científicos y comerciales de la industria de la minería; un tema que siempre le interesó a lo largo de toda su vida.
Después de terminar sus estudios en la École des Mines, Poincaré pasó un corto periodo como ingeniero minero en Vesoul, mientras concluía su tesis doctoral. Como estudiante de Charles Hermite, Poincaré obtuvo su doctorado en matemáticas de la Universidad de París en 1879. Su tesis versó sobre ecuaciones diferenciales y los examinadores fueron un tanto críticos con el trabajo. Elogiaron los resultados del principio de la tesis pero después informaron que (véase por ejemplo[20]):
...el resto de la tesis es un poco confuso y muestra que el autor todavía no era capaz de expresar sus ideas de manera clara y simple. Sin embargo, considerando la gran dificultad del tema y el talento demostrado, la facultad recomienda que a M. Poincaré se le otorgue el grado de Doctor con todos los privilegios.
Inmediatamente después de recibir su doctorado, se le encargó a Poincaré la enseñanza de análisis matemático en la Universidad de Caen. Los informes sobre su enseñanza en Caen no eran del todo elogiosos, y hacían referencia a su estilo de enseñar, en ocasiones, desorganizado. Se quedó ahí por sólo dos años antes de obtener una cátedra en la Facultad de Ciencias en París en 1881. En 1886, Poincaré fue nominado para la cátedra de física matemática y probabilidad en la Sorbona. Gracias a la intervención y el apoyo de Hermite se le aseguró a Poincaré la cátedra y también se le otorgó una cátedra en la École Polytechnique. En sus clases a los estudiantes en París[64]:
...al cambiar sus clases cada año, revisaba temas de óptica, electricidad, el equilibrio de masas fluidas, las matemáticas de la electricidad, la astronomía, la termodinámica, la luz y la probabilidad.
Poincaré conservó estas cátedras en París hasta su muerte a la temprana edad de 58.
Antes de revisar brevemente las muchas contribuciones de Poincaré a las matemáticas y a otras ciencias, tenemos que decir un poco acerca de su modo de pensar y de trabajar. Se le considera como uno de los grandes genios de todos los tiempos y hay dos fuentes muy significativas que estudian sus procesos de pensamiento. Una es una conferencia que dio al Institut Général Psychologique en París en 1908, tituladaInvención Matemática, en la cual revisaba sus propios procesos de pensamiento que lo condujeron a sus mayores descubrimientos matemáticos. La otra es el libro de Toulouse[65], que era el director del Laboratorio de Psicología de la École des Hautes Études en París. Aunque fue publicado en 1910, el libro hace un recuento de conversaciones con Poincaré y pruebas sobre él que efectuó Toulouse en 1897.
Toulouse[66] explica que Poincaré mantenía horarios de trabajo muy precisos. Se dedicaba a la investigación matemática durante cuatro horas diarias, entre las 10 de la mañana y el mediodía y de nuevo de las 5 a las 7 de la tarde. Leía artículos en revistas más tarde en la noche. Un aspecto interesante de la obra de Poincaré es su tendencia a desarrollar sus resultados de principios básicos. Para muchos matemáticos hay un proceso constructivo con más y más obra construida sobre obra previa. No era ésta la forma en la que trabajaba Poincaré, sino que no sólo su investigación, sino también sus conferencias y sus libros se desarrollaban cuidadosamente desde lo básico. Quizás lo más notable de todo lo señala la descripción de Toulouse[67] de cómo Poincaré procedía a escribir un artículo:
...no hace un plan global cuando escribe un artículo. Normalmente comenzará sin saber dónde terminará. ... El comienzo es normalmente fácil. Entonces el trabajo parece irlo llevando sin que él haga un esfuerzo voluntario. En esa etapa es difícil distraerlo. Cuando investiga, a menudo escribe una fórmula automáticamente para despertar alguna asociación de ideas. Si el comienzo es doloroso, Poincaré no persiste y más bien abandona el trabajo.
Toulouse continúa describiendo cómo Poincaré esperaba que le vinieran las ideas claves cuando dejaba de concentrarse en el problema:
Poincaré procede por golpes repentinos, tomando y luego abandonando un tema. Durante intervalos supone ... que su inconsciente continúa el trabajo de reflexión. Detener el trabajo es difícil si no hay una distracción suficientemente fuerte, especialmente cuando juzga que no lo ha completado ... Por esta razón, Poincaré nunca hace trabajo importante en la noche para evitar la dificultad de conciliar el sueño.
Como Miller hace notar[68]:
Es increíble que no pudiera trabajar plenamente página tras página de cálculos detallados, ya sea que se tratase de cálculos de la naturaleza matemáticamente más abstracta, o de puros cálculos numéricos, como eran frecuentes en física, casi sin nunca tachar nada.
Examinemos algunos de los descubrimientos que hizo Poincaré con su método de trabajo. Poincaré era un científico preocupado por muchos aspectos de las matemáticas, la física y la filosofía, y frecuentemente es descrito como el último universalista en matemáticas. Hizo contribuciones a numerosas ramas de las matemáticas, la mecánica celeste, la mecánica de fluidos, la teoría especial de la relatividad y la filosofía de la ciencia. Mucha de su investigación involucraba interacciones entre diferentes temas matemáticos y su amplio entendimiento de todo el espectro del conocimiento le permitía atacar problemas desde muy diferentes ángulos.
Antes de alcanzar los 30 años desarrolló el concepto de funciones automorfas que son funciones de una variable compleja invariante bajo la acción de un grupo de transformaciones caracterizado algebraicamente por cocientes de términos lineales. La idea era pasar de una manera indirecta sobre su trabajo en la tesis doctoral sobre ecuaciones diferenciales. Sus resultados se aplicaban solamente a clases restringidas de funciones y Poincaré deseaba generalizar estos resultados, pero como una ruta hacia esto, analizó una clase de ecuaciones cuyas soluciones no existían. Esto lo condujo a funciones que él llamó funciones fuchsianas en honor a Lazarus Fuchs, pero después fueron llamadas funciones automorfas. La idea crucial le vino cuando estaba por coger un autobús, como lo relata en Ciencia y Método (1908):
En el momento de poner mi pié en el estribo me vino la idea, sin que nada en mis pensamientos previos pareciese haber asfaltado la ruta hacia ella, de que las transformaciones que había yo usado para definir las funciones fuchsianas fueran idénticas a aquéllas de la geometría no euclidiana.
En correspondencia entre Klein y Poincaré se intercambiaron muchas ideas profundas de las que el desarrollo de la teoría de las funciones automorfas se vio muy beneficiado. Sin embargo, los dos grandes matemáticos no quedaron en buenos términos, pues parecía que Klein se sintió molesto por la buena opinión de Poincaré sobre la obra de Fuchs. Rowe examina esta correspondencia[69].
El Analysis situs de Poincaré, publicado en 1895, es uno de los primeros tratados sistemáticos de la topología. Puede decirse que él es el creador de la topología algebraica y, en 1901, aseguraba que sus investigaciones en muchas áreas diferentes tales como las ecuaciones diferenciales y las integrales múltiples lo habían conducido hacia la topología. Por 40 años después de que Poincaré publicó los primeros de los seis artículos sobre topología algebraica en 1894, esencialmente todas las ideas y técnicas en el tema se basaban en su trabajo. Incluso hoy en día la conjetura de Poincaré permanece como uno de los problemas no resueltos más desconcertantes y desafiantes de la topología algebraica.
La teoría de homotopía reduce cuestiones topológicas al álgebra asociando a los espacios topológicos varios grupos que son invariantes algebraicos. Poincaré introdujo el grupo fundamental (o primer grupo de homotopía) en su artículo de 1894 para distinguir diferentes clases de superficies bidimensionales. Pudo demostrar que cualquier superficie bidimensional con el mismo grupo fundamental de la superficie esférica bidimensional es topológicamente equivalente a una esfera. Conjeturó que este resultado valía igualmente para variedades tridimensionales lo que posteriormente se extendió a dimensiones superiores. Sorprendentemente se conocen pruebas para el equivalente de la conjetura de Poincaré para todas las dimensiones estrictamente mayores que tres. No se conoce un esquema de clasificación completa para las 3-variedades, por lo que no hay una lista de posibles variedades que puedan ser verificadas para confirmar si todas tienen diferentes grupos de homotopía.
A Poincaré se le considera también el creador de la teoría de las funciones analíticas de varias variables complejas. Comenzó con sus contribuciones al tema en 1883 con un trabajo en el que usaba el principio de Dirichlet para probar que una función meromorfa de dos variables complejas es cociente de dos funciones enteras. También trabajó en geometría algebraica e hizo contribuciones fundamentales en artículos que escribió entre 1910 y 1911. Examinó curvas algebraicas sobre una superficie algebraica F(x,y,z) = 0 y desarrolló métodos que le permitían dar pruebas sencillas de resultados profundos de Emile Picard y de Severi. Dio la primera demostración correcta de un resultado formulado por Castelnuovo, Enriques y Severi; estos autores habían sugerido un método de demostración equivocado.
Su primera contribución importante en la teoría de números fue hecha en 1901 con un trabajo[70] sobre:
... el problema diofantino de encontrar los puntos con coordenadas racionales sobre una curva f(x,y) = 0, cuyos coeficientes son números racionales.
En matemáticas aplicadas estudió óptica, electricidad, telegrafía, capilaridad, elasticidad, termodinámica, teoría del potencial, teoría cuantitativa, teoría de la relatividad y cosmología. En el campo de la mecánica celeste estudió el problema de los tres cuerpos, así como las teorías de la luz y de las ondas electromagnéticas. Se le reconoce como codescubridor, con Albert Einstein y Hendrik Lorentz, de la teoría de la relatividad especial. Hemos de describir con un poco más detalles el importante trabajo de Poincaré sobre el problema de los tres cuerpos.
Oscar II, Rey de Suecia y Noruega, organizó una competencia matemática en 1887 para celebrar su sexagésimo cumpleaños en 1889. Poincaré recibió el premio por una memoria que envió sobre el problema de los tres cuerpos en mecánica celeste. En este trabajo Poincaré dio la primera descripción de puntos homoclínicos, la primera descripción matemática del movimiento caótico, y fue el primero en hacer uso importante de la idea de integrales invariantes. Sin embargo, cuando el trabajo estaba a punto de ser publicado en Acta Matematica, Phragmen, quien editaba la memoria para su publicación, encontró un error. Poincaré se dio cuenta de que en verdad había cometido un error y Mittag-Leffler hizo denodados esfuerzos para evitar la publicación de la versión incorrecta de la memoria. Entre marzo de 1887 y julio de 1890 Poincaré y Mittag-Leffler intercambiaron cincuenta cartas fundamentalmente relacionadas con la competencia del cumpleaños, la primera de las cuales era de Poincaré diciéndole a Mittag-Leffler que trataba de enviar una participación al concurso y, por supuesto, las demás discuten el problema concerniente al error. Es interesante que este error es hoy en día considerado como el comienzo de la teoría del caos. En 1890 apareció una versión revisada de la memoria de Poincaré.
Entre otras obras importantes de Poincaré sobre mecánica celeste se incluye Les Méthodes nouvelles de la méchanique celeste (Nuevos Métodos en Macánica Celeste) en tres volúmenes publicados entre 1892 y 1899, y Leçons de mecanique celeste (Lecciones de Mecánica Celeste 1905). En los primeros de éstos tuvo el objetivo de caracterizar completamente todos los movimientos de los sistemas mecánicos, invocando una analogía con los flujos fluidos. También mostró que las expansiones en series previamente usadas para estudiar el problema de tres cuerpos eran convergentes, pero en general no uniformemente convergentes, poniendo así en duda las demostraciones de estabilidad de Lagrange y Laplace.
También escribió muchos artículos de divulgación científica en un momento en el que la ciencia no era un tema popular entre el público general en Francia. Whitrow escribe[71]:
Después de que Poincaré alcanzó un prestigió como matemático, dedicó sus extraordinarias dotes literarias al desafío de escribir para el público general el significado y la importancia de la ciencia y las matemáticas.
Las obras de divulgación de Poincaré incluyen Ciencia e Hipótesis (1901), El Valor de la Ciencia (1905) yCiencia y Método (1908). Una cita de estos escritos es particularmente relevante para la historia de las matemáticas. En 1908 escribió:
El verdadero método para predecir el futuro de las matemáticas es estudiar su historia y su estado actual.
Finalmente veamos las contribuciones de Poincaré a la filosofía de las matemáticas y la ciencia. Lo primero que hay que resaltar es la forma cómo Poincaré visualizaba la lógica y la intuición como elementos importantes en el descubrimiento matemático. En Definiciones Matemáticas en Educación (1904) escribió:
Es por la lógica que demostramos, es por la intuición que inventamos.
En un artículo Poincaré ponía otra vez énfasis en el punto de la siguiente forma:
La lógica, por tanto, permanece estéril a menos que se la fertilice con la intuición.
McLarty[72] da ejemplos de cómo Poincaré no se tomaba la molestia de ser riguroso. El buen éxito de su enfoque de las matemáticas yace en su apasionada intuición. Sin embargo, la intuición no era para Poincaré algo que utilizara cuando no podía encontrar una demostración lógica. Más bien creía él que los argumentos formales pueden revelar errores de intuición y la argumentación lógica es la única forma de confirmar las ocurrencias intuitivas. Poincaré creía que la demostración formal por sí misma no puede conducir al conocimiento. Éste sólo proviene del razonamiento matemático con contenido, y no sólo de argumentos formales.
Es razonable preguntarse qué entendía Poincaré por “intuición”. Esto no es simple, puesto que él veía algo bastante diferente entre su trabajo en física y su trabajo en matemáticas. En física consideraba que la intuición dictaba cómo encapsular matemáticamente lo que sus sentidos le decían sobre el mundo. Pero para explicar lo que “intuición” era en matemáticas, a Poincaré le daba por decir que era la parte que no se obtenía a partir de la lógica:
... para hacer geometría ... es necesario algo más que lógica pura. Para describir este “algo” no hay otra palabra que intuición.
Poincaré vuelve al punto cuando escribe una revisión de los Fundamentos de la geometría de Hilbert (1902):
El punto de vista lógico por sí solo parece interesarle [a Hilbert]. Dada una secuencia de proposiciones, encuentra que todas se obtienen lógicamente de la primera. Él no se preocupa de los fundamentos de esta primera proposición, ni de su origen psicológico.
No se trata, sin embargo, de dar la impresión de que ésta fuese una revisión negativa; el punto de vista de Poincaré respecto de este trabajo de Hilbert era muy positivo. Stump[73] explora el significado de intuición para Poincaré y de la diferencia entre las formas matemáticamente aceptables y las no aceptables.
Poincaré creía que se podía elegir ya fuera la geometría euclidiana o la no euclidiana como la geometría del espacio físico. Pensaba que al ser ambas geometrías topológicamente equivalentes, podían trasladarse propiedades de una a la otra, de modo que ninguna era correcta o falsa. Por esta razón argumentaba que la geometría euclidiana sería preferida por los físicos. Esto, sin embargo, no ha resultado ser un punto de vista muy correcto y la evidencia experimental muestra ahora claramente que el espacio físico es no euclidiano.
Poincaré tenía toda la razón, sin embargo, en sus críticas a aquéllos que como B. Russell deseaban axiomatizar las matemáticas, pues estaban condenados al fracaso. El principio de inducción matemática, decía Poincaré, no puede deducirse lógicamente. También aseguraba que sería imposible probar que la aritmética es consistente, si se la define por un sistema de axiomas, como Hilbert lo había hecho. Estas afirmaciones de Poincaré a la larga resultaron correctas.
Debemos hacer notar que, a pesar de su gran influencia en las matemáticas de su época, Poincaré nunca fundó una escuela propia, pues no tuvo estudiantes. Aunque sus contemporáneos usaban sus resultados, rara vez adoptaban sus técnicas.
Poincaré obtuvo los más altos honores por sus contribuciones de verdadero genio. Fue nombrado miembro de la Académie des Sciences en 1887 y en 1906 fue elegido Presidente de la Academia. La amplitud de su investigación lo llevó a ser el único miembro elegido para pertenecer a cada una de las cinco secciones de la Academia, a saber, las secciones de geometría, mecánica, física, geografía y navegación. En 1908 resultó electo como miembro de la Académie Française y fue elegido director durante el año de su muerte. También fue investido caballero de la Legión de Honor y fue honrado con un gran número de sociedades eruditas de todo el mundo. Ganó numerosos premios, medallas y reconocimientos.
Basado en un artículo de J. J. O'Connor y E. F. Robertson