Pitágoras. Nació cerca de 569 AC en Samos, Jonia, y murió cerca de 475 AC. Pitágoras de Samos es descrito frecuentemente como el primer matemático puro.
Es una figura extremadamente importante en el desarrollo de las matemáticas, aunque es relativamente poco lo que se conoce de sus logros matemáticos. A diferencia de matemáticos griegos posteriores, de quienes al menos tenemos algunos de los libros que escribieron, de Pitágoras no tenemos ningún escrito. La sociedad que dirigió, semirreligiosa y semicientífica, seguía un código secreto, que ciertamente aún hoy hace de Pitágoras una figura misteriosa.
Tenemos detalles de la vida de Pitágoras gracias a biografías antiguas que hicieron uso de fuentes originales escritas por autores que le atribuyen poderes divinos, y cuyo propósito era presentarlo como una divinidad. Lo que aquí se presenta es un intento de recolectar las fuentes más confiables para reconstruir un relato de la vida de Pitágoras. Hay un acuerdo bastante bueno acerca de los principales sucesos en su vida, aunque la mayor parte de las fechas las disputan distintos estudiosos que dan fechas con diferencias de 20 años. Algunos historiadores tratan toda esta información como meras leyendas, pero incluso si el lector así las trata, al tratarse de registros tan antiguos, tienen un valor histórico.
Según Porfirio, el padre de Pitágoras fue Mnesarco[36] [37], mientras que según Jámblico, su madre fue Pythais[38], nativa de Samos. Mnesarco era un mercader que vino de Tiro, Fenicia, y hay una historia que cuenta Porfirio acerca de que Mnesarco trajo granos a Samos cuando se había presentado una hambruna, y que con ese motivo se le reconoció otorgándole la ciudadanía de Samos. Cuando niño, Pitágoras pasó sus años tempranos en Samos, pero después viajó mucho con su padre. Hay relatos que cuentan que Mnesarco regresó a Tiro con Pitágoras y que ahí recibió instrucción de los caldeos y los sabios de Siria. Parece que también visitó Italia con su padre.
Se sabe poco de la infancia de Pitágoras. Todos los relatos acerca de su aspecto físico parecen ser ficticios salvo por la descripción de un asombroso nevo materno (lunar) que tenía Pitágoras en el muslo. Es probable que haya tenido dos hermanos, aunque algunas fuentes dicen que tuvo tres. Ciertamente recibió una muy buena instrucción, aprendiendo a tocar la lira, a hacer poesía y a recitar a Homero. Entre sus maestros estaban tres filósofos que influyeron en Pitágoras durante su juventud. Uno de los más importantes fue Feréquides, a quien muchos describen como el maestro de Pitágoras.
Los otros dos filósofos que influyeron en él y lo introdujeron al pensamiento matemático fueron Tales y su discípulo Anaximandro, quienes vivieron en Mileto. Jámblico dice que Pitágoras visitó a Tales en Mileto, cuando tenía entre 18 y 20 años de edad. Para entonces Tales ya era un anciano, y aunque aún causó una fuerte impresión en Pitágoras, probablemente ya no le enseñó mucho. Sin embargo, contribuyó al interés de Pitágoras en las matemáticas y la astronomía, y le aconsejó viajar a Egipto para aprender más sobre estas disciplinas. El discípulo de Tales, Anaximandro, enseñaba en Mileto y Pitágoras asistía a sus cursos. Anaximandro estaba ciertamente interesado en la geometría y la cosmología, y muchas de sus ideas tuvieron influencia en los conceptos de Pitágoras.
Alrededor de 535 AC, Pitágoras fue a Egipto. Esto ocurrió unos cuantos años después de que el tirano Polícrates se apoderara del control de la ciudad de Samos. Hay cierta evidencia para pensar que Pitágoras y Polícrates tuvieron una amistad al principio y se afirma[39] que Pitágoras fue a Egipto llevando una carta de presentación de Polícrates. En efecto, Polícrates tenía una alianza con Egipto, por lo que había fuertes vínculos entre Samos y Egipto en esa época. Los relatos acerca de la estancia de Pitágoras en Egipto sugieren que visitó muchos de los templos y tomó parte en muchas discusiones con los sacerdotes. Según Porfirio[40] [41], filósofo neoplatónico nacido en Tiro, Pitágoras fue rechazado al intentar visitar los templos egipcios, con la excepción del de Dióspolis, donde sí fue aceptado para el sacerdocio después de completar los ritos necesarios para la admisión.
No es difícil relatar muchas de las creencias de Pitágoras, las que él impondría después en la sociedad que estableció en Italia a partir de las costumbres que aprendió en Egipto. Por ejemplo, la actitud secreta de los sacerdotes egipcios, su rechazo a ingerir leguminosas, incluso su rechazo a usar ropas hechas de pieles de animales y su aspiración por lograr la pureza eran todas costumbres que adoptaría Pitágoras posteriormente. Porfirio dice que Pitágoras aprendió geometría de los egipcios, pero es probable que ya tuviera familiaridad con la geometría, ciertamente a partir de las enseñanzas de Tales y Anaximandro.
En 525 AC, Cambises II, el rey de Persia, invadió Egipto. Polícrates abandonó su alianza con Egipto y envió 40 barcos a reunirse con la flota persa contra los egipcios. Después de que Cambises había ganado la Batalla de Pelusio en el Delta del Nilo y de que había ocupado Heliópolis y Menfis, la resistencia egipcia cedió. Pitágoras fue hecho prisionero y llevado a Babilonia. Jámblico[42] escribe sobre Pitágoras:
... fue transportado por los seguidores de Cambises como prisionero de guerra. Mientras estuvo ahí tuvo el gusto de asociarse con los Magoi... y fue instruido en sus ritos sagrados y aprendió acerca de una adoración muy mística de los dioses. También alcanzó la cúspide de la perfección en aritmética y música, y en las demás ciencias matemáticas enseñadas por los Babilonios...
Alrededor de 520 AC, Pitágoras abandonó Babilonia y regresó a Samos. Polícrates había sido asesinado alrededor de 522 AC y Cambises había muerto en el verano de ese año, ya sea por suicidio o por causa de un accidente. Las muertes de estos gobernantes pueden haber sido el factor para que Pitágoras regresara a Samos, pero en ningún lado se explica cómo obtuvo su libertad. Darío de Persia había asumido el control de Samos después de la muerte de Polícrates y parece haber estado aun en control de la isla al regreso de Pitágoras. Esto entra en conflicto con los relatos de Porfirio y Diógenes Laercio[43], quienes afirman que Polícrates todavía estaba controlando Samos cuando Pitágoras regresó.
Pitágoras hizo un viaje a Creta poco después de su regreso a Samos para estudiar el sistema legal ahí. A su regreso a Samos fundó una escuela llamada el Semicírculo. En el tercer siglo DC, Jámblico[44] escribe que:
... [Pitágoras] formó una escuela en la ciudad [de Samos], el 'semicírculo' de Pitágoras, conocido hasta hoy por ese nombre, en el cual los samios efectúan reuniones políticas. Lo hacen pues piensan que hay que discutir cuestiones sobre bondad, justicia y conveniencia en este lugar fundado por el hombre que hizo de todos estos temas su propio asunto. Fuera de la ciudad hizo de una cueva el sitio privado de su propia enseñanza filosófica, pasando casi toda la noche así como el día ahí para investigar la utilidad de las matemáticas...
Pitágoras abandonó Samos y se fue al sur de Italia cerca de 518 AC (algunos afirman que fue mucho antes). Jámblico da algunas razones para su salida de Samos. En primer lugar los comentarios sobre la respuesta de los samios a sus métodos de enseñanza:
... trataba de utilizar su método simbólico de enseñanza, que era semejante en todos sus aspectos a lo que él había aprendido en Egipto. Los samios no se sentían muy entusiastas por su método y lo trataban de una manera ruda e impropia.
Esta excusa, de acuerdo con Jámblico, fue usada en parte por Pitágoras para dejar Samos:
... Pitágoras fue arrastrado a toda clase de misiones diplomáticas por sus conciudadanos y fue forzado a participar en asuntos públicos. ... Sabía que todos los filósofos que lo precedieron habían acabado sus días en tierras extranjeras, por lo que decidió huir de toda responsabilidad política, alegando como excusa, de acuerdo con algunas fuentes, el desprecio que los samios tenían por sus métodos de enseñanza.
Pitágoras fundó una escuela filosófica y religiosa en Crotón (ahora Crotona, en el este del “tacón” del sur de Italia) que tenía muchos seguidores. Pitágoras era cabeza de la sociedad con un círculo interno de seguidores conocidos como los mathematikoi. Los mathematikoi vivían permanentemente con la Sociedad, no tenían propiedad personal y eran vegetarianos. Recibían enseñanzas del propio Pitágoras y obedecían reglas estrictas. Las creencias de Pitágoras eran[45]:
(1) que en su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza matemática,
(2) que la filosofía puede ser usada para la purificación espiritual,
(3) que el alma puede elevarse para su unión con lo divino,
(4) que ciertos símbolos tienen significado místico, y
(5) que todos los hermanos de la orden deben observar estricta lealtad y guardar actitud secreta.
Tanto hombres como mujeres eran admitidos como miembros de la Sociedad; en efecto, varias de las mujeres pitagóricas se convirtieron después en filósofas famosas. El círculo exterior de la Sociedad era conocido como los “acusmáticos” (de “acústica” y “matemáticos”) y vivían en sus propias casas, y sólo venían a la Sociedad durante el día. Podían tener propiedades privadas y no se les exigía que fueran vegetarianos.
De la propia obra de Pitágoras no se sabe nada. Su escuela practicaba la actitud secreta y el comunalismo, lo que hacía difícil distinguir entre la obra de Pitágoras y la de sus seguidores. Ciertamente, su escuela hizo contribuciones extraordinarias a las matemáticas, y es posible tener bastante certeza acerca de algunas de las contribuciones matemáticas de Pitágoras. Primero debe quedar claro en qué sentido Pitágoras y losmathematikoi estudiaban matemáticas. No actuaban como un grupo de investigación en matemáticas en una universidad u otra institución moderna. No había 'problemas abiertos' que tuvieran que resolver, y de ninguna manera estaban interesados en tratar de formular o resolver problemas matemáticos.
Más bien Pitágoras estaba interesado en los principios de las matemáticas, el concepto de número, el concepto de triángulo o de otras figuras matemáticas, y de la idea abstracta de demostración. Brumbaugh[46] escribe:
Es difícil para nosotros hoy, por más familiarizados que estemos con la abstracción matemática pura y con el acto mental de la generalización, apreciar la originalidad de esta contribución pitagórica.
De hecho, hoy en día somos tan sofisticados que incluso ya no reconocemos a 2 como una cantidad abstracta. Hay un paso notablemente grande entre 2 barcos + 2 barcos = 4 barcos y el resultado abstracto 2 + 2 = 4, que se aplica no solamente a barcos, sino a plumas, gente, casas, etc. Hay otro paso para ver que la noción abstracta de 2 es una cosa que, en cierto sentido, es tan real como un barco o una casa.
Pitágoras creía que todas las relaciones podían reducirse a relaciones de números. Aristóteles escribió:
Los Pitagóricos... habiéndose formado dentro del estudio de las matemáticas, pensaban que las cosas eran números... y que todo el cosmos es una escala y un número.
Esta generalización provenía de las observaciones de Pitágoras en música, matemáticas y astronomía. Pitágoras observó que las cuerdas vibrantes producen tonos armoniosos cuando las razones de las longitudes de las cuerdas son números enteros, y que estas razones podían considrerase en otros instrumentos. En efecto, Pitágoras hizo notables contribuciones a la teoría matemática de la música. Era un excelente músico, que tocaba la lira y usaba la música como medio para ayudar a los enfermos.
Pitágoras estudiaba propiedades de los números que serían muy familiares para los matemáticos de hoy, tales como números pares e impares, números triangulares, números perfectos, etc. Sin embargo, para Pitágoras los números tenían personalidades que difícilmente reconoceríamos como matemáticas hoy[47]:
Cada número tenía su propia personalidad - masculino o femenino, perfecto o incompleto, hermoso o feo. Las matemáticas modernas han eliminado deliberadamente este sentimiento, pero aún lo encontramos en la ficción y la poesía. Diez era el mejor número: contenía en sí mismo los primeros cuatro enteros –uno, dos, tres y cuatro [1 + 2 + 3 + 4 = 10]– y escritos estos en notación de puntos formaban un triángulo perfecto.
Por supuesto recordamos hoy a Pitágoras especialmente por su famoso teorema de geometría. Aunque el teorema, ahora conocido como el teorema de Pitágoras, ya lo conocían los babilonios 1000 años atrás, tal vez haya sido él quien por primera vez lo demostró. Proclo, el último gran filósofo griego, que vivió alrededor de 450 AC escribió[48]:
Después [de Tales, etc.] Pitágoras transformó el estudio de la geometría en una educación liberal, examinando los principios de la ciencia desde su comienzo y probando los teoremas de una manera inmaterial e intelectual: él fue quien descubrió la teoría de los irracionales y la construcción de las figuras cósmicas.
Heath[49] da una lista de teoremas atribuidos a Pitágoras, o más bien, a los pitagóricos.
(i) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. También conocían los pitagóricos la generalización que establece que para un polígono con n lados la suma de sus ángulos interiores es 2n – 4 ángulos rectos y la suma de sus ángulos exteriores es igual a cuatro ángulos rectos.
(ii) El teorema de Pitágoras –para un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Debemos notar que para Pitágoras el cuadrado de la hipotenusa ciertamente no debe ser considerado como el número multiplicado por sí mismo, sino más bien, como un cuadrado geométrico construido sobre el lado. Decir que la suma de dos cuadrados es igual a un tercer cuadrado significaba que los dos cuadrados podían ser recortados en pedazos y rearmados para formar un cuadrado idéntico el tercero.
(iii) Construir figuras de un área dada y álgebra geométrica. Por ejemplo resolvieron ecuaciones tales como a(a - x) = x2 por medios geométricos.
(iv) El descubrimiento de los irracionales. Este se le atribuye ciertamente a los pitagóricos pero parece poco probable que se le deba al propio Pitágoras. Iba contra la filosofía de Pitágoras de que todas las cosas eran números, ya que por número entendía la razón entre dos números enteros. Sin embargo, debido a su creencia de que todas las cosas eran números sería una tarea natural tratar de probar que la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles tenía longitud correspondiente a un número.
(v) Los cinco sólidos regulares. Se piensa que el propio Pitágoras sabía cómo construir los primeros tres, pero es poco probable que haya sabido cómo construir los otros dos.
(vi) En astronomía Pitágoras, enseñaba que la Tierra era una esfera en el centro del Universo. También reconoció que la órbita de la Luna estaba inclinada con respecto al ecuador de la Tierra y fue uno de los primeros en darse cuenta de que Venus, como estrella de la tarde, era el mismo planeta que Venus, como estrella de la mañana.
En primera instancia, sin embargo, Pitágoras era filósofo. Además de sus creencias sobre los números, geometría y astronomía que ya hemos descrito, tenía[50]:
... las siguentes enseñanzas filosóficas y éticas: ... la dependencia de la dinámica que tiene la estructura del mundo de la interacción de contrarios, o pares de opuestos; la visión del alma como un número con movimiento propio, que experimenta una forma de metempsicosis, o reencarnación sucesiva en diferentes especies hasta su final purificación (particularmente a través de la vida intelectual de los pitagóricos éticamente rigurosos); y el entendimiento... de que todos los objetos existentes estaban fundamentalmente compuestos de forma y no de sustancia material. Además, la doctrina pitagórica... identificaba el cerebro como el lugar geométrico del alma; y prescribía ciertas prácticas de culto secretas.
Brumbaugh [51] también describe sus prácticas éticas:
En sus prácticas éticas, los pitagóricos eran famosos por su mutua amistad, altruismo y honestidad.
La Sociedad de Pitágoras en Crotón también fue afectada por los eventos políticos, a pesar de su deseo de mantenerse al margen de la política. Pitágoras fue a Delos en 513 AC a cuidar a su viejo maestro Feréquides que se estaba muriendo. Estuvo ahí unos cuantos meses hasta la muerte de su amigo y maestro y entonces retornó a Crotón. En 510 AC Crotón atacó y venció a su vecina Sibaris y hubo ciertas sospechas de que Pitágoras estuviera involucrado en la disputa. Entonces, cerca de 508 AC, la Sociedad Pitagórica en Crotón fue atacada por Cilón, un noble de la propia Crotón. Pitágoras escapó a Metaponto y casi todos los autores afirman que ahí murió, y algunos dicen que se suicidó por el ataque a su Sociedad. Jámblico[52] cita una versión de lo ocurrido:
Cilón, un crotoniata y ciudadano importante por nacimiento, fama y riqueza, pero por otro lado un hombre difícil, violento, molesto y con tendencias tiránicas, deseaba ansiosamente participar del modo de vida pitagórico. Se acercó a Pitágoras, que ya estaba viejo, pero fue rechazado por sus defectos de carácter descritos. Cuando esto ocurrió, Cilón y sus amigos se unieron para hacer un fuerte ataque a Pitágoras y sus seguidores. Así, un celo fuerte y agresivo activó a Cilón y a sus seguidores a perseguir a los pitagóricos hasta que no quedara ninguno. Por esto, Pitágoras partió a Metaponto y se dice que ahí terminó sus días.
Esto parece estar aceptado por la mayoría, pero Jámblico mismo no acepta esta versión y arguye que el ataque de Cilón fue una cuestión menor y que Pitágoras regresó a Crotón. Ciertamente, la Sociedad Pitagórica prosperó por muchos años después de estos sucesos y se extendió de Crotón a muchas otras ciudades italianas. Gorman[53] sostiene que ésta es una fuerte razón para creer que Pitágoras regresó a Crotón y cita otra evidencia, que es la edad de Pitágoras, ampliamente difundida, de alrededor de 100 años a su muerte, y el hecho de que muchas fuertes afirman que Pitágoras enseñó a Empédocles, para confirmar que murió años después del 480 AC.
La evidencia de cuándo y donde murió Pitágoras es poco clara. Ciertamente, la Sociedad Pitagórica se expandió rápidamente después de 500 AC, se tornó de naturaleza política y se subdividió en un cierto número de facciones. En 460 AC la Sociedad[54]:
...fue suspendida violentamente. Sus casas de reunión fueron saqueadas y quemadas en todas partes; se hace mención, en particular, de “la casa de Milo” en Crotón, donde 50 o 60 pitagóricos fueron sorprendidos y asesinados. Los que sobrevivieron se refugiaron en Tebas y en otros lugares.
Basado en un artículo de J. J. O'Connor y E. F. Robertson