Grigori Yakovlevich Perelman. Nació el 13 de junio de 1966 en Leningrado, URSS (Unión de Repúblicas Socialistas Soviéticas) (hoy San Petersburgo, Rusia). A veces se le conoce por su apelativo cariñoso Grisha Perelman. Grisha es un matemático ruso, cuyas contribuciones a la geometría riemanniana y a la topología geométrica han sido asombrosas. Nació en el seno de una familia judía. Su educación matemática básica la recibió en la Escuela Secundaria 239 de Leningrado, la cual es una escuela especializada con programas avanzados en matemáticas y física. En 1982 fue integrante de la delegación soviética que participó en la Olimpiada Internacional de Matemáticas, en la que obtuvo medalla de oro, al resolver sin mácula todas las preguntas que se le plantearon. [3] Hacia finales de los ochentas, Perelman obtuvo el grado de Candidato de Ciencia (que es el equivalente soviético al doctorado), en la Facultad de Matemáticas y Mecánica de la Universidad Estatal de Leningrado, una de las principales universidades de la antigua Unión Soviética. Su tesis doctoral la llamó “Superficies silla de montar en espacios euclidianos”.
Después de graduarse, Perelman ingresó al afamado Departamento de Leningrado del Instituto Steklov de Matemáticas de la Academia de Ciencias de la URSS, donde sus tutores fueron Aleksandr Danilovich Aleksandrov y Yuri Dmitrievich Burago. A finales de los ochentas y principios delos noventas, Perelman ocupó puestos en varias universidades de los Estados Unidos. En 1992 lo invitaron a pasar un semestre, en la Universidad de Nueva York en Stony Brook. Después aceptó una beca de investigación en la Universidad de California en Berkeley in 1993. Tuvo ofertas de trabajo en varias de las mejores universidades de la Unión Americana, incluyendo Princeton y Stanford, pero las rechazó todas y retornó al Instituto Steklov en el verano de 1995.
Quizás el logro que más fama le ha dado ha sido su demostración de la conjetura de geometrización de Thurston, que presentó en una serie de tres artículos publicados en la red de internet. La respuesta afirmativa a esta conjetura demuestra la famosa conjetura de Poincaré, planteada en 1904, que había sido considerada como uno de los más importantes y difíciles problemas abiertos de las matemáticas.
En abril de 2003, Perelman dio una serie de conferencias públicas en el Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT), llamadas “Ricci Flow and Geometrization of 3-Manifolds”, (“Flujo de Ricci y geometrización de 3-variedaes”), y que fueron presentadas en el marco de la Serie de Conferencias Simons en el Departamento de Matemáticas del MIT. Estas conferencias fueron la primera discusón pública de Perelman de los importantes resultados contenidos en dos pre-publicaciones, una publicada en la red Arxiv de internet, en noviembre de 2002 y la otra en marzo de 2003
En agosto de 2006, la Unión Matemática Internacional le otorgó a Perelman la Medalla Fields, [1] por “sus contribuciones a la geometría y su revolucionaria forma de ver la estructura analítica y geométrica del flujo de Ricci”. Ésta debió haberle sido entregada durante le Congreso Internacional de Matemáticos, que tuvo lugar en Madrid, España, e septiembre de 2006. Sin embargo, Perelman declinó el honor que se le hacía y no asisistió siquiera al congreso. Hasta ahora, ha sido él la única persona que ha rechazado tan alta distinción. Ya antes había renunciado a su puesto como profesor en el Instituto Steklov, en San Petersburgo.
El 22 de diciembre de 2006, la revista Science, una de las más respetadas por la comunidad científica mundial, reconoció la demostración de Perelman de la conjetura de Poincaré, como el “scientific breakthrough of the year“ (“máximo logro científico del año”). Ésta es la primera vez que esta revista hace tal reconocimiento en el área de las matemáticas. [2]
Hasta el otoño de 2002 a Perelman se le reconocía por su trabajo en teoremas de comparación en geometría riemanniana. Entre sus más notables logros estaba la prueba de la llamada soul conjecture (conjetura del alma).
Los resultados de Perelman son difíciles de explicar en lenguaje llano. El propio Perleman (2003) comienza su segundo artículo afirmando que se trata de un artículo técnico, que es continuación del anterior de 2002. Como consecuencia, los resultados de Perelman no son fácilmente accesibles para no especialistas. De hecho, en ninguno de estos trabajos hace alguna referencia a Poincaré y solamente una a Thurston.
Despojando sus resultados de los detalles técnicos, los resultados de Perelman prueban un muy profundo teorema en las matemáticas, hasta entonces conocido como la conjetura de geometrización de Thurston. Ésta trata de estructuras geométricas en objetos matemáticos, conocidos como variedades, y tiene como consecuencia la prueba de la famosa conjetura de Poincaré.
En la forma propuesta originalmente por Henri Poincaré en 1904 (Poincaré 1953, pp. 486 y 498), la conjetura afirmaba que toda 3-variedad cerrada es homeomorfa a la 3-esfera, la cual, en sentido topológico, es una generalización de la más familiar esfera bidimensional (es decir, la superficie esférica en el espacio tridimensional usual) pero de una dimensión más alta. Más coloquialmente, Poincaré conjeturó que la 3-esfera es el único tipo posible de espacio tridimensional acotado que no tiene agujeros. Posteriormente, esta conjetura se generalizó afirmando que cualquier n-variedad cerrada es homotópicamente equivalente a la n-esfera si y sólo si es homeomorfa a la n-esfera. A esta afirmación generalizada se le conoce como la conjetura de Poincaré, y cuando n = 3, se reduce a la original.
El caso n = 1 de la conjetura generalizada es trivial, el caso n = 2 es clásico y ya era conocido para los matemáticos del siglo diecinueve, n = 3 permaneció abierto hasta 2003, n = 4 lo probó Freedman en 1982 (por lo cual, en 1986, obtuvo la medalla Fields), n = 5 lo probó Zeeman en 1961, n = 6 lo demostró Stallings en 1962, y el caso n > 6 lo estableció Smale en 1961 (aunque su prueba pudo extenderse para incluir tods los casos n > 4).
El interés por la conjetura de Poincaré resurgió en el público cuando el Instituto Clay de Matemáticas la incluyó en su lista de problemas del milenio, con un premio de un millón de dólares para quien la probase.
Los resultados de Perelman han sido ya verificados por los matemáticos, pues son sólidos y bien pensados, y no parecen contener errores significativos.
La medalla Fields y el premio del milenio
En mayo de 2006, el comité Fields, integrado por nueve matemáticos, votó a favor de otorgar a Perelman la medalla Fields por su trabajo sobre la conjetura de geometrización de Thurston y la consecuente prueba de la conjetura de Poincaré. [10]
Sir John Ball, presidente de la Unión Matemática Internacional, se acercó Perelman en San Petersburgo en junio de 2006 para convencerlo de aceptar el premio. Después de 10 horas de trabajo de convencimiento, a lo largo de dos días, Ball se dio por vencido. Dos semanas más tarde, Perelman resumió la conversación diciendo que Ball le había propuesto tres opciones: aceptar la medalla e ir a Madrid a recibirla; aceptarla y no ir, en cuyo caso le enviarían la medalla después; y como tercera opción, no aceptarla. Perelman aseguró que desde un principio le había dicho a Ball que optaba por la tercera posibilidad. Continuó diciendo que el reconocimiento le era completamente irrelevante. Que todo mundo entendía que si la prueba estaba correcta, entonces no era necesario ningún otro reconocimiento. [10]
El 22 de agosto de 2006 se le ofreció públicamente a Perelman la medalla en el Congreso Internacional de Matemáticos en Madrid, “por sus contribuciones a la geometría y su vision revolucionaria de la estructura analítica y geométrica del flujo de Ricci”.[10] No asistió a la ceremonia y declinó la aceptación de la medalla, convirtiéndose así en el primero en no aceptar tan prestigiosa presea. [18][19]
Ya había declinado antes aceptar un prestigiado premio de la Sociedad Matemática Europea, [19] alegando que sentía que el comité del premio no estaba calificado para evaluar su trabajo, ni siquiera positivamente. [16]
Perelman podría también ser acreedor a una parte (o la totalidad) del premio del Milenio. Las reglas de este premio —que, según lo dijo un miembro del consejo consultivo del Clay Mathematics Institute— requieren que su demostración haya sido publicada en una revista de matemáticas con arbitraje. Aunque el propio Perelman no ha intentado enviar su trabajo a publicación, otros matemáticos han publicado artículos acerca de la prueba. Esto podría hacer a Perelman acreedor a una parte o al total del premio. Perelman ha afirmado que “No voy a decidir si acepto o no el premio, hasta que éste sea ofrecido.” [10]
Durante la ceremonia de entrega de las medallas Fields en 2006, Terence Tao dijo lo siguiente sobre la obra de Perelman [8]:
“Ellos [los problemas del Milenio] son como esos enormes acantilados, sin posibilidades claras de detenerse. No tengo idea de cómo llegar hasta arriba. [La prueba de Perelman de la conjetura de Poincaré] es un fantástico logro, más meritorio que el de todos los que estamos aquí, en mi opinión. La mayor parte de las veces, en matemáticas, uno mira lo que ya ha sido hecho, toma un problema y se centra en él. Pero aquí, la cantidad de parteaguas … vaya, es asombroso.”
Retiro de las matemáticas
Desde la primavera de 2003, Perelman ya no labora en el Instituto Steklov. [11] Se dice que sus amigos han afirmado que Perelman encuentra en las matemáticas un tema muy doloroso del cual discutir; algunos dicen incluso que ha abandonado completamente las matemáticas. [20] De acuerdo con una entrevista en 2006, Perelman se encuentra sin trabajo, viviendo con su madre en San Petersburgo. [11]
Aunque en un artículo de la revista The New Yorker afirma Perelman estar decepcionado de los estándares éticos del campo de las matemáticas, la nota sugiere que Perelman se refiere particularmente a os esfuerzos de Yau por minimizar su papel en la demostración y ensalzar la obra de Cao y Zhu. Perelman ha dicho que “No puedo decir que esté indignado. Otros lo hacen peor. Por supuesto, hay muchos matemáticos que son más o menos honestos. Pero casi todos ellos son unos conformistas. Son más o menos honestos, pero toleran a quienes no lo son.” [10] También dijo que “no es la gente que rompe los estándares éticos, a la que se le considera rara, es la gente como yo la que está aislada.” [10]
Todo esto, combinado con la posibilidad de resultar galardonado con la medalla Fields, lo que lo llevó a abandonar profesionalmente las matemáticas. Ha dicho que “Mientras no llamé la atención, tenía opción. Ya fuera de hacer alguna cosa fea” (refiriéndose a la falta de integridad de la comunidad matemática) “o, si no hiciera una cosa así, para ser tratado como una mascota. Ahora que me he convertido en alguíen que atrae la atención, no puedo seguir siendo una mascota y quedarme callado. Por eso tuve que renunciar.” [10]
Perelman es un talentoso violinista, así como un hábil jugador de tenis de mesa. [4]
Referencias
1. Clay Mathematics Institute. “The Poincaré Conjecture.”
http://www.claymath.org/millennium/Poincare_Conjecture
2. Johnson, G. “A Mathematician's World of Doughnuts and Spheres.” The New York Times, April 20, 2003, p. 5.
3. Perelman, G. “Ricci Flow and Geometrization of Three-Manifolds.” Massachusetts Institute of Technology Department of Mathematics Simons Lecture Series. http://www-math.mit.edu/conferences/simons
4. Perelman, G. “The Entropy Formula for the Ricci Flow and Its Geometric Application.” November 11, 2002., http://www.arxiv.org/abs/math.DG/0211159
5. Perelman, G. “Ricci Flow with Surgery on Three-Manifolds.” March 10, 2003. http://www.arxiv.org/abs/math.DG/0303109
6. Poincaré, H. Oeuvres de Henri Poincaré, tome VI. Paris: Gauthier-Villars, pp. 486 and 498, 1953.
7. Robinson, S. “Russian Reports He Has Solved a Celebrated Math Problem.” The New York Times, April 15, 2003, p. D3.
8. Перельман, Григорий Яковлевич (1990). Седловые поверхности в евклидовых пространствах:Автореф. дис. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук (in Russian). Ленинградский Государственный Университет. (Perelman's dissertation)
9. Perelman, G.; Yu. Burago, M. Gromov (1992). “Aleksandrov spaces with curvatures bounded below”. Russian Math Surveys 47 (2): 1–58.
10. Perelman, G. (1993). “Construction of manifolds of positive Ricci curvature with big volume and large Betti numbers” (PDF). Comparison Geometry 30: 157–163. Retrieved on 2006-08-23.
11. Perelman, G. (1994). “Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll”. J. Differential Geom. 40: 209–212.
12. Perelman, G. (1994). “Elements of Morse theory on Aleksandrov spaces”. St. Petersbg. Math. J. 5 (1): 205–213.
13. Perelman, G.Ya.; Petrunin, A.M. (1994). “Extremal subsets in Alexandrov spaces and the generalized Liberman theorem”. Saint Petersburg Math. J. 5 (1): 215–227.
14. Perelman's proof of the geometrization conjecture: Perelman, Grisha (November 11, 2002). “The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications”. arΧiv:math.DG/0211159.
15. Perelman, Grisha (March 10, 2003). “Ricci flow with surgery on three-manifolds”. arΧiv:math.DG/0303109.
16. Perelman, Grisha (July 17, 2003). “Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds”. arΧiv:math.DG/0307245.
Quizás el logro que más fama le ha dado ha sido su demostración de la conjetura de geometrización de Thurston, que presentó en una serie de tres artículos publicados en la red de internet. La respuesta afirmativa a esta conjetura demuestra la famosa conjetura de Poincaré, planteada en 1904, que había sido considerada como uno de los más importantes y difíciles problemas abiertos de las matemáticas.
En abril de 2003, Perelman dio una serie de conferencias públicas en el Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT), llamadas “Ricci Flow and Geometrization of 3-Manifolds”, (“Flujo de Ricci y geometrización de 3-variedaes”), y que fueron presentadas en el marco de la Serie de Conferencias Simons en el Departamento de Matemáticas del MIT. Estas conferencias fueron la primera discusón pública de Perelman de los importantes resultados contenidos en dos pre-publicaciones, una publicada en la red Arxiv de internet, en noviembre de 2002 y la otra en marzo de 2003
En agosto de 2006, la Unión Matemática Internacional le otorgó a Perelman la Medalla Fields, [1] por “sus contribuciones a la geometría y su revolucionaria forma de ver la estructura analítica y geométrica del flujo de Ricci”. Ésta debió haberle sido entregada durante le Congreso Internacional de Matemáticos, que tuvo lugar en Madrid, España, e septiembre de 2006. Sin embargo, Perelman declinó el honor que se le hacía y no asisistió siquiera al congreso. Hasta ahora, ha sido él la única persona que ha rechazado tan alta distinción. Ya antes había renunciado a su puesto como profesor en el Instituto Steklov, en San Petersburgo.
El 22 de diciembre de 2006, la revista Science, una de las más respetadas por la comunidad científica mundial, reconoció la demostración de Perelman de la conjetura de Poincaré, como el “scientific breakthrough of the year“ (“máximo logro científico del año”). Ésta es la primera vez que esta revista hace tal reconocimiento en el área de las matemáticas. [2]
Hasta el otoño de 2002 a Perelman se le reconocía por su trabajo en teoremas de comparación en geometría riemanniana. Entre sus más notables logros estaba la prueba de la llamada soul conjecture (conjetura del alma).
Los resultados de Perelman son difíciles de explicar en lenguaje llano. El propio Perleman (2003) comienza su segundo artículo afirmando que se trata de un artículo técnico, que es continuación del anterior de 2002. Como consecuencia, los resultados de Perelman no son fácilmente accesibles para no especialistas. De hecho, en ninguno de estos trabajos hace alguna referencia a Poincaré y solamente una a Thurston.
Despojando sus resultados de los detalles técnicos, los resultados de Perelman prueban un muy profundo teorema en las matemáticas, hasta entonces conocido como la conjetura de geometrización de Thurston. Ésta trata de estructuras geométricas en objetos matemáticos, conocidos como variedades, y tiene como consecuencia la prueba de la famosa conjetura de Poincaré.
En la forma propuesta originalmente por Henri Poincaré en 1904 (Poincaré 1953, pp. 486 y 498), la conjetura afirmaba que toda 3-variedad cerrada es homeomorfa a la 3-esfera, la cual, en sentido topológico, es una generalización de la más familiar esfera bidimensional (es decir, la superficie esférica en el espacio tridimensional usual) pero de una dimensión más alta. Más coloquialmente, Poincaré conjeturó que la 3-esfera es el único tipo posible de espacio tridimensional acotado que no tiene agujeros. Posteriormente, esta conjetura se generalizó afirmando que cualquier n-variedad cerrada es homotópicamente equivalente a la n-esfera si y sólo si es homeomorfa a la n-esfera. A esta afirmación generalizada se le conoce como la conjetura de Poincaré, y cuando n = 3, se reduce a la original.
El caso n = 1 de la conjetura generalizada es trivial, el caso n = 2 es clásico y ya era conocido para los matemáticos del siglo diecinueve, n = 3 permaneció abierto hasta 2003, n = 4 lo probó Freedman en 1982 (por lo cual, en 1986, obtuvo la medalla Fields), n = 5 lo probó Zeeman en 1961, n = 6 lo demostró Stallings en 1962, y el caso n > 6 lo estableció Smale en 1961 (aunque su prueba pudo extenderse para incluir tods los casos n > 4).
El interés por la conjetura de Poincaré resurgió en el público cuando el Instituto Clay de Matemáticas la incluyó en su lista de problemas del milenio, con un premio de un millón de dólares para quien la probase.
Los resultados de Perelman han sido ya verificados por los matemáticos, pues son sólidos y bien pensados, y no parecen contener errores significativos.
La medalla Fields y el premio del milenio
En mayo de 2006, el comité Fields, integrado por nueve matemáticos, votó a favor de otorgar a Perelman la medalla Fields por su trabajo sobre la conjetura de geometrización de Thurston y la consecuente prueba de la conjetura de Poincaré. [10]
Sir John Ball, presidente de la Unión Matemática Internacional, se acercó Perelman en San Petersburgo en junio de 2006 para convencerlo de aceptar el premio. Después de 10 horas de trabajo de convencimiento, a lo largo de dos días, Ball se dio por vencido. Dos semanas más tarde, Perelman resumió la conversación diciendo que Ball le había propuesto tres opciones: aceptar la medalla e ir a Madrid a recibirla; aceptarla y no ir, en cuyo caso le enviarían la medalla después; y como tercera opción, no aceptarla. Perelman aseguró que desde un principio le había dicho a Ball que optaba por la tercera posibilidad. Continuó diciendo que el reconocimiento le era completamente irrelevante. Que todo mundo entendía que si la prueba estaba correcta, entonces no era necesario ningún otro reconocimiento. [10]
El 22 de agosto de 2006 se le ofreció públicamente a Perelman la medalla en el Congreso Internacional de Matemáticos en Madrid, “por sus contribuciones a la geometría y su vision revolucionaria de la estructura analítica y geométrica del flujo de Ricci”.[10] No asistió a la ceremonia y declinó la aceptación de la medalla, convirtiéndose así en el primero en no aceptar tan prestigiosa presea. [18][19]
Ya había declinado antes aceptar un prestigiado premio de la Sociedad Matemática Europea, [19] alegando que sentía que el comité del premio no estaba calificado para evaluar su trabajo, ni siquiera positivamente. [16]
Perelman podría también ser acreedor a una parte (o la totalidad) del premio del Milenio. Las reglas de este premio —que, según lo dijo un miembro del consejo consultivo del Clay Mathematics Institute— requieren que su demostración haya sido publicada en una revista de matemáticas con arbitraje. Aunque el propio Perelman no ha intentado enviar su trabajo a publicación, otros matemáticos han publicado artículos acerca de la prueba. Esto podría hacer a Perelman acreedor a una parte o al total del premio. Perelman ha afirmado que “No voy a decidir si acepto o no el premio, hasta que éste sea ofrecido.” [10]
Durante la ceremonia de entrega de las medallas Fields en 2006, Terence Tao dijo lo siguiente sobre la obra de Perelman [8]:
“Ellos [los problemas del Milenio] son como esos enormes acantilados, sin posibilidades claras de detenerse. No tengo idea de cómo llegar hasta arriba. [La prueba de Perelman de la conjetura de Poincaré] es un fantástico logro, más meritorio que el de todos los que estamos aquí, en mi opinión. La mayor parte de las veces, en matemáticas, uno mira lo que ya ha sido hecho, toma un problema y se centra en él. Pero aquí, la cantidad de parteaguas … vaya, es asombroso.”
Retiro de las matemáticas
Desde la primavera de 2003, Perelman ya no labora en el Instituto Steklov. [11] Se dice que sus amigos han afirmado que Perelman encuentra en las matemáticas un tema muy doloroso del cual discutir; algunos dicen incluso que ha abandonado completamente las matemáticas. [20] De acuerdo con una entrevista en 2006, Perelman se encuentra sin trabajo, viviendo con su madre en San Petersburgo. [11]
Aunque en un artículo de la revista The New Yorker afirma Perelman estar decepcionado de los estándares éticos del campo de las matemáticas, la nota sugiere que Perelman se refiere particularmente a os esfuerzos de Yau por minimizar su papel en la demostración y ensalzar la obra de Cao y Zhu. Perelman ha dicho que “No puedo decir que esté indignado. Otros lo hacen peor. Por supuesto, hay muchos matemáticos que son más o menos honestos. Pero casi todos ellos son unos conformistas. Son más o menos honestos, pero toleran a quienes no lo son.” [10] También dijo que “no es la gente que rompe los estándares éticos, a la que se le considera rara, es la gente como yo la que está aislada.” [10]
Todo esto, combinado con la posibilidad de resultar galardonado con la medalla Fields, lo que lo llevó a abandonar profesionalmente las matemáticas. Ha dicho que “Mientras no llamé la atención, tenía opción. Ya fuera de hacer alguna cosa fea” (refiriéndose a la falta de integridad de la comunidad matemática) “o, si no hiciera una cosa así, para ser tratado como una mascota. Ahora que me he convertido en alguíen que atrae la atención, no puedo seguir siendo una mascota y quedarme callado. Por eso tuve que renunciar.” [10]
Perelman es un talentoso violinista, así como un hábil jugador de tenis de mesa. [4]
Referencias
1. Clay Mathematics Institute. “The Poincaré Conjecture.”
http://www.claymath.org/millennium/Poincare_Conjecture
2. Johnson, G. “A Mathematician's World of Doughnuts and Spheres.” The New York Times, April 20, 2003, p. 5.
3. Perelman, G. “Ricci Flow and Geometrization of Three-Manifolds.” Massachusetts Institute of Technology Department of Mathematics Simons Lecture Series. http://www-math.mit.edu/conferences/simons
4. Perelman, G. “The Entropy Formula for the Ricci Flow and Its Geometric Application.” November 11, 2002., http://www.arxiv.org/abs/math.DG/0211159
5. Perelman, G. “Ricci Flow with Surgery on Three-Manifolds.” March 10, 2003. http://www.arxiv.org/abs/math.DG/0303109
6. Poincaré, H. Oeuvres de Henri Poincaré, tome VI. Paris: Gauthier-Villars, pp. 486 and 498, 1953.
7. Robinson, S. “Russian Reports He Has Solved a Celebrated Math Problem.” The New York Times, April 15, 2003, p. D3.
8. Перельман, Григорий Яковлевич (1990). Седловые поверхности в евклидовых пространствах:Автореф. дис. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук (in Russian). Ленинградский Государственный Университет. (Perelman's dissertation)
9. Perelman, G.; Yu. Burago, M. Gromov (1992). “Aleksandrov spaces with curvatures bounded below”. Russian Math Surveys 47 (2): 1–58.
10. Perelman, G. (1993). “Construction of manifolds of positive Ricci curvature with big volume and large Betti numbers” (PDF). Comparison Geometry 30: 157–163. Retrieved on 2006-08-23.
11. Perelman, G. (1994). “Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll”. J. Differential Geom. 40: 209–212.
12. Perelman, G. (1994). “Elements of Morse theory on Aleksandrov spaces”. St. Petersbg. Math. J. 5 (1): 205–213.
13. Perelman, G.Ya.; Petrunin, A.M. (1994). “Extremal subsets in Alexandrov spaces and the generalized Liberman theorem”. Saint Petersburg Math. J. 5 (1): 215–227.
14. Perelman's proof of the geometrization conjecture: Perelman, Grisha (November 11, 2002). “The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications”. arΧiv:math.DG/0211159.
15. Perelman, Grisha (March 10, 2003). “Ricci flow with surgery on three-manifolds”. arΧiv:math.DG/0303109.
16. Perelman, Grisha (July 17, 2003). “Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds”. arΧiv:math.DG/0307245.
Carlos Prieto de Castro