Felix Christian Klein. Nació el 25 de abril de 1849 en Düsseldorf, Prusia, y murió el 22 de junio de 1925, en Göttingen, Alemania. Es mejor conocido por su obra sobre geometría no euclidiana, sobre las conexiones entre geometría y teoría de grupos y por sus resultados en teoría de funciones.
Klein asistió al Gymnasium (bachillerato) en Düsseldorf. Después de graduarse, entró a la Universidad de Bonn y estudió matemáticas y física entre 1865 y 1866. Comenzó su carrera con la intención de convertirse en físico. Mientras estudiaba en la Universidad de Bonn, obtuvo el puesto de asistente de laboratorio de Plücker en 1866. Plücker ocupaba una cátedra de matemáticas y física experimental en Bonn, pero cuando Klein se convirtió en su asistente, los intereses de Plücker se habían enraizado firmemente en la geometría. Klein obtuvo su doctorado en 1868 en la Universidad de Bonn bajo la supervisión de Plücker, con una tesisSobre la transformación a una forma canónica de la ecuación general de segundo grado entre coordenadas lineales, que trata cuestiones de geometría lineal y aplicaciones a la mecánica. En su disertación clasificó complejos lineales de segundo grado usando la teoría de Weierstrass de divisores elementales.
Sin embargo, en el año en el que Klein recibió su doctorado, Plücker falleció dejando incompleta su obra monumental sobre los fundamentos de la geometría lineal. Klein era la persona obvia para completar la segunda parte de la Nueva geometría del espacio de Plücker y su trabajo lo llevó a familiarizarse con Clebsch. Éste se había mudado a Göttingen en 1868 y durante 1869, Klein hizo visitas a Berlín, París y Göttingen. En julio de 1870 Klein estaba en París cuando Bismarck, el Canciller Prusiano, publicó un mensaje que enfureció al gobierno francés. Francia le declaró la guerra a Prusia el 19 de julio y Klein sintió que no podía permanecer en París y regresó. Entonces, durante un pequeño lapso, cumplió con el servicio militar como asistente médico antes de ser nombrado docente en Göttingen a principios de 1871.
Klein fue posteriormente designado profesor en Erlangen, en Baviera, en el sur de Alemania, en 1872. Recibió apoyo decisivo de Clebsch, quien consideraba que muy probablemente se convertiría en el principal matemático de sus tiempos, y así Klein ocupó una cátedra a su tierna edad de 23 años. Sin embargo, Klein no formó una escuela en Erlangen donde sólo había pocos estudiantes, de modo que se sintió complacido cuando le ofrecieron una cátedra en la Escuela Superior Técnica de Munich en 1875. Allí él y su colega Brill impartían cursos avanzados a un gran número de excelentes estudiantes y el gran talento de Klein como maestro alcanzó su máxima expresión. Entre los estudiantes que tuvo Klein en Munich estaban Hurwitz, von Dyck, Rohn, Runge, Planck, Bianchi y Ricci-Curbastro. En ese año se casó con Anne Hegel, la nieta del filósofo Georg Wilhelm Friedrich Hegel.
Después de cinco años en la Escuela Superior Técnica de Munich, Klein obtuvo una cátedra de geometría en Leipzig. Ahí tuvo como colegas a muchos talentosos jóvenes docentes, incluyendo a von Dyck, Rohn, Study y Engel. Los años de 1880 a 1886 que Klein pasó en Leipzig fueron fundamentales en muchos aspectos para cambiar su vida. Como escribe D. E. Rowe[21]:
Leipzig parecía ser un soberbio bastión para construir el tipo de escuela que tenía en mente: una escuela fuertemente basada en la abundante riqueza ofrecida por el enfoque geométrico ofrecido por Riemann para la teoría de funciones. Pero eventos imprevistos y su siempre frágil salud conspiraron en contra de sus planes. .. [En él había] dos almas... una que anhelaba la vida académica tranquila, la otra que deseaba una vida activa de editor, maestro y organizador de actividades científicas. ... Fue durante el otoño de 1882 que el primero de estos dos mundos lo aplastó ... su salud se colapsó completamente y durante los años 1883 y1884 sufrió una depresión.
Habiendo casi acabado su carrera como investigador en matemáticas, en 1886 aceptó Klein una cátedra en la Universidad de Göttingen, donde enseñó hasta su retiro en 1913, pero entonces buscó volver a convertir a Göttingen en el centro de investigación en matemáticas más importante del mundo. Su propio papel como líder de la escuela de geometría de Leipzig nunca se transfirió a Göttingen. Allí impartió una gran variedad de cursos, principalmente sobre la interacción de las matemáticas con la física, tales como mecánica y teoría del potencial.
Klein estableció un centro de investigación en Göttingen que sirvió de modelo para los mejores centros de investigación en matemáticas del mundo. Introdujo reuniones semanales de discusión, una sala de lectura con una biblioteca de matemáticas. Klein trajo a Hilbert de Königsberg para integrarlo a su equipo de investigación en Göttingen en 1895.
La fama de la revista Mathematische Annalen se basa en las habilidades matemáticas y administrativas de Klein. La revista había sido fundada originalmente por Clebsch, pero sólo bajo la administración de Klein pudo rivalizar con el Crelle Journal y después rebasarlo en importancia. En cierto sentido, estas revistas representaban a grupos rivales: la escuela de matemáticas de Berlín que apoyaba el Crelle Journal y la de los seguidores de Clebsch que apoyaba los Mathematischen Annalen. Klein estableció un pequeño equipo de editores que se reunían regularmente y tomaban decisiones democráticas. La revista se especializaba en análisis complejo, geometría algebraica y teoría de invariantes. También proporcionaba una importante opción para el análisis real y la recién creada área de teoría de grupos.
Klein se retiró debido a su delicado estado de salud en 1913. Sin embargo, continuó enseñando matemáticas en su casa durante los años de la Gran Guerra.
Es un poco difícil de entender el significado de las contribuciones de Klein en la geometría. Esto no es por que nos resulten extrañas hoy en día, más bien al revés, se han convertido en una parte tan íntima de nuestro pensamiento matemático actual, que resulta difícil percatarse de lo novedosos que eran sus resultados, así como del hecho de que no eran aceptados universalmente por todos sus contemporáneos.
Los primeros descubrimientos matemáticos importantes de Klein los hizo en 1870 en colaboración con Lie. Descubrieron propiedades fundamentales de las rectas asintóticas de la superficie de Kummer. En colaboración posterior con Lie trabajó en una investigación sobre W-curvas, que son curvas invariantes bajo un grupo de transformaciones proyectivas. De hecho, Lie jugó un papel importante en el desarrollo de Klein, al introducirlo al concepto de grupo, que jugó un papel central en su trabajo posterior. Es justo añadir que Camille Jordan también tuvo parte importante en instruir a Klein acerca de los grupos.
Durante su tiempo en Göttingen en 1871, Klein hizo descubrimientos fundamentales sobre la geometría. Publicó dos artículos Sobre la llamada geometría no euclidiana, en los que prueba que es posible considerar la geometría euclidiana y la no euclidiana como casos especiales de una superficie proyectiva con una sección cónica específica adjunta. Esto tiene el notable corolario de que la geometría no euclidiana es consistente si y sólo si la geometría euclidiana es consistente. El hecho de que la geometría no euclidiana fuera a la sazón un tema todavía muy controvertido desapareció con ello. Su status quedó desde entonces en un nivel idéntico al de la geometría euclidiana. Cayley nunca aceptó las ideas de Klein creyendo que sus argumentos eran circulares.
La síntesis de la geometría de Klein como el estudio de las propiedades de un espacio que son invariantes bajo un cierto grupo de transformaciones, conocida como el Erlanger Programm[22] (1872), influyó profundamente en el desarrollo matemático. Este programa fue escrito en ocasión de la exposición inaugural de Klein al ser designado profesor en Erlangen en 1872, aunque no fue realmente un discurso el que dio en esa ocasión. El Programa de Erlangen proporcionó un enfoque unificado de la geometría que ahora constituye la visión estándar aceptada.
Las transformaciones juegan un papel central en las matemáticas modernas y Klein mostró cómo las propiedades esenciales de una geometría dada pueden representarse por el grupo de transformaciones que conservan esas propiedades. De este modo, el Programa de Erlangen definió la geometría de manera que incluyese tanto la euclidiana como la no euclidiana.
El propio Klein veía su obra sobre teoría de funciones como su principal contribución a las matemáticas. W. Burau y B. Schoenberg escriben[23]:
Klein consideraba su obra sobre teoría de funciones como la cumbre de su trabajo en matemáticas. Le debió parte de sus grandes éxitos a su desarrollo de las ideas de Riemann y a la íntima alianza que forjó entre éstas ideas y la concepción de la teoría de invariantes, de la teoría de números y el álgebra, de la teoría de grupos y de la geometría multidimensional y la teoría de ecuaciones diferenciales, especialmente en sus propios campos: funciones modulares elípticas y funciones automorfas.
Klein consideró ecuaciones de grado mayor que 4 y se interesó particularmente en utilizar métodos trascendentes para resolver la ecuación general de quinto grado. Después de trabajar sobre métodos debidos a Hermite y Kronecker, produciendo resultados similares a los de Brioschi, continuó para resolver completamente el problema usando el grupo del icosaedro. Este trabajo lo llevó a considerar funciones modulares elípticas que estudió en una serie de artículos.
Desarrolló una teoría de funciones automorfas, y conectó resultados algebraicos y geométricos en su importante libro de 1884 sobre el icosaedro. Sin embargo, Poincaré comenzó a publicar un esbozo de su teoría de funciones en automorfas en 1881 y esto los llevó a una competencia entre ambos[24]:
Klein empezó a escribirse con Poincaré y pronto surgió una amistosa rivalidad pues ambos buscaban formular y probar un gran teorema de uniformización que sirviese como piedra angular de su teoría. Trabajando bajo gran estrés, Klein tuvo éxito al formular tal teorema y esbozar una estrategia para probarlo.
Sin embargo, fue durante este trabajo que la salud de Klein se quebrantó, como ya mencionamos antes. Junto con Robert Fricke, quien visitó Leipzig en 1884, Klein escribió un importante clásico de cuatro volúmenes sobre funciones modulares automorfas y elípticas producido durante los siguientes 20 años.
Debemos hacer mención también de la botella de Klein, una superficie cerrada de un solo lado bautizada según su descubridor.
En la década de 1890 Klein se interesó en la física matemática, aunque a lo largo de toda su carrera mostró por su actitud estar siempre cercano a esta área. De acuerdo con su interés escribió un trabajo importante sobre el giróstato con A. Sommerfeld.
Posteriormente en su carrera, Klein se interesó por la enseñanza escolar. W. Burau y B. Schoenberg escriben[25]:
A partir de 1900 comenzó a interesarse vívidamente por la instrucción matemática en niveles previos al universitario, mientras continuaba con sus funciones académicas. Se tornó así en un precursor de la modernización de la instrucción matemática en Alemania; en 1905 jugó un papel decisivo al formular los “Meraner Lehrplan-entwürfe” (diseños de programas de estudios). El cambio esencial que recomendó fue la introducción en las escuelas secundarias de rudimentos de cálculo diferencial e integral y el concepto de función.
Klein resultó electo presidente de la Comisión Internacional sobre Instrucción Matemática en el Congreso Internacional de Matemáticos en Roma en 1908. Bajo su guía, la rama alemana de la Comisión publicó muchos volúmenes sobre la enseñanza de las matemáticas en todos los niveles.
Otro proyecto en el que trabajó hacia la vuelta del siglo fue la Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften (Enciclopedia de las Ciencias Matemáticas). Tomó parte activa en este proyecto, editando con K. Müller la sección de mecánica en cuatro volúmenes.
Klein fue elegido miembro de la Real Sociedad de Gran Bretaña en 1885 y recibió la Medalla Copley de la Sociedad en 1912.
Basado en un artículo de J. J. O'Connor y E. F. Robertson