En el año 2000, el Instituto de Matemáticas contaba con 15 investigadores en Morelia, 19 en Cuernavaca y 55 en su sede de Ciudad Universitaria. A principios de 2009 los números correspondientes son 20, 24 y 56, de tal manera que su planta académica siguió creciendo en las unidades, mas ya no en Ciudad Universitaria. Sin embargo, aunque no ha crecido significativamente la planta académica del Instituto, su productividad primaria sí ha ido en aumento: en 1997 reportaba una tasa de 0.98 artículos por investigador al año, mientras que en 2007 fue de 1.65, cuando la tasa mundial es de alrededor de 1.0 en matemáticas. En parte, este aumento se debe a que sus áreas de trabajo se han diversificado como veremos a continuación.
Puesto que por principio, y respondiendo a su carácter nacional, el Instituto se plantea el desarrollo global de las matemáticas en México, son numerosas las áreas que se cultivan en él, aunque éstas no se agrupan en departamentos, dándole a cada individuo el mismo peso. Será difícil, por ello, describir de manera incluyente su labor, pero lo intentaremos por orden cronológico, siendo las áreas más tradicionales la topología y el álgebra.
El álgebra tiene una larga historia que comienza en los años cuarenta con la tesis de doctorado de Félix Recillas, que obtuvo resultados íntimamente relacionados con la geometría algebraica. Posteriormente, desde el comienzo de los años sesenta, Humberto Cárdenas y Emilio Lluis tuvieron una amplia producción relacionada con problemas de cohomología de grupos. Al final de los años sesenta Francisco Tomás, quien acababa de dejar el CINVESTAV, donde se había doctorado, para pasar a laborar en el Instituto, investigaba acerca de sumas activas de grupos en colaboración con F. González Acuña y algunos estudiantes. Tiempo después, el mismo Tomás trabajó sobre números algebraicos con algunos estudiantes; en esa misma época Francisco Raggi y colaboradores investigaban acerca de teorías de torsión; también Octavio García realizaba estudios en álgebra universal. A partir de los setenta, Cárdenas, Lluis y Bautista empezaron a trabajar en la teoría de representaciones de álgebras; a Bautista y a Roberto Martínez Villa, que había sido discípulo de Maurice Auslander en Brandeis, se les une un numeroso grupo de jóvenes estudiantes que hicieron sus tesis doctorales con ellos. Buena parte del impulso que tuvo esta área se debió a la demostración, publicada en 1984, que dio Bautista de la segunda conjetura de Brauer-Thrall, que significaba uno de los retos importantes de la teoría de representaciones. Entre los jóvenes discípulos de Bautista y Martínez Villa que se incorporaron al Instituto, destaca José Antonio de la Peña, quien fuera director del Instituto entre 1998 y 2006. El grupo ha seguido formando gente, es muy activo y reconocido internacionalmente como “la escuela mexicana de representaciones de álgebras”. Actualmente consta de investigadores de todas las categorías, repartidos en las tres sedes, además de otros en diversas instituciones.
Los antecedentes del trabajo en topología realizado en el Instituto se encuentran en los años cuarenta y sobre todo en los cincuenta, con las contribuciones en topología algebraica de Roberto Vázquez y José Ádem, y también en teoría de nudos con el trabajo de Guillermo Torres. Para finales de los sesenta y principios de los setenta, esta disciplina se enriqueció con el regreso de Francisco González Acuña y deSantiago López de Medrano, después de que terminaron el doctorado en variedades de dimensión baja y en topología diferencial, respectivamente. También en esa época aparecieron los primeros trabajos en topología categórica de Graciela Salicrup (1935-1982) y Roberto Vázquez; asimismo, la topología general adquirió un nuevo ímpetu con la incorporación al Instituto de Adalberto García Máynez. Para 1980, el Instituto ya contaba con un numeroso grupo de especialistas en distintas ramas de la topología, que en esas fechas continuó creciendo aún más con la incorporación de muchos ex becarios que se aglutinaron en el Seminario Especial de Topología. Aunque algunos de ellos se inclinaron hacia otras áreas de las matemáticas, han explotado en ellas su formación de topólogos. actualmente, hay grupos de topología en las tres sedes que abarcan una gran cantidad de especialidades, desde topología de conjuntos y teoría de continuos hasta diversos tipos de topología algebraica, pasando por teoría de nudos y topología diferencial.
Como antecedentes de las aportaciones de los miembros del Instituto en geometría algebraica, mencionamos ya el trabajo de Félix Recillas. Durante los cincuenta Félix Recillas y Emilio Lluis llevaron a cabo varios trabajos en colaboración. También en esos años Lluis produjo un trabajo pionero acerca de las llamadas “variedades extrañas”. Al principio de los setenta la tradición de la geometría algebraica dentro del Instituto de Matemáticas se acentuó con la actividad de Sevín Recillas, quien además de sus publicaciones y un continuo intercambio con colegas extranjeros, formó a buen número de estudiantes —algunos evolucionaron hacia temas cercanos ubicados en otras áreas. Esta área clásica continúa cultivándose en las tres sedes, principalmente por jóvenes investigadores.
Si bien el interés por el análisis matemático en el Instituto empezó también en la década de los cuarenta y a principios de los cincuenta, con los trabajos de Roberto Vázquez, Francisco Zubieta, Rodolfo Morales y Enrique Valle Flores, el desarrollo de esta rama era incipiente hasta que en los setenta, bajo la dirección de Francisco Tomás, se inició la formación de un grupo interesado en anillos de funciones, que trabajó en problemas relacionados con las aportaciones de H. Whitney, H. Cartan y B. Malgrange. Entre los resultados hubo varias tesis doctorales. A finales de los setenta y principios de los ochenta se incorporaron al Instituto nuevos investigadores, que han trabajado en diversos temas de análisis funcional y análisis armónico. Más recientemente, se ha incursionado en ecuaciones diferenciales parciales con diversas perspectivas: la topológica y la de control entre otras. De tal manera que esta importante área de las matemáticas se encuentra en crecimiento en las tres sedes.
La teoría de gráficas, y más en general, la combinatoria, empezó a cultivarse en México en los años setenta con los trabajos de Víctor Neumann, profesor de la Facultad de Ciencias y con Fernando Escalante (1947-1974), investigador del IIMAS, quien había regresado a México en 1973 después de obtener su doctorado en Alemania. Desafortunadamente, Escalante falleció poco después de su regreso a México y Neumann asumió solo el desarrollo de la disciplina, realizando múltiples contribuciones al tema y formando numerosos estudiantes, primero como profesor de la Facultad de Ciencias y después como investigador del Instituto de Matemáticas, al que ingresó en 1979. Varios de sus alumnos son ahora investigadores en el propio Instituto o en otras instituciones. Además, Víctor Neumann también fue hasta su fallecimiento el principal organizador de los coloquios nacionales de teoría de las gráficas y combinatoria que desde 1986 se llevan a cabo anualmente en el país. Muy ligado a la combinatoria, a finales de los ochenta se forma un grupo preocupado por problemas de convexidad y geometría discreta, que ha tenido destacadas aportaciones en la materia por su particular enfoque topológico y continúa formando gente y trabajando intensamente en una amplia variedad de problemas. Este grupo se concentra en la sede de Ciudad Universitaria, aunque también hay algunos investigadores en combinatoria en las otras sedes del Instituto.
Desde de los ochenta tiene un gran desarrollo el área de sistemas dinámicos en el Instituto de Matemáticas. A raíz del traslado de Xavier Gómez Mont al CIMAT, este tema empieza a cultivarse con éxito en esa institución. Además de su producción en investigación, el grupo de sistemas dinámicos desarrolla un vigoroso programa de intercambio académico con instituciones del extranjero, organiza actividades internacionales y ha despertado con ellas el interés de muchas generaciones de estudiantes en el área. Como ya relatamos, en la consolidación académica de la Unidad Cuernavaca, este grupo ha desempeñado un papel fundamental. En particular, hay que destacar su trabajo en el estudio de singularidades, en el cual se conjugan elegantemente la topología, la geometría algebraica y los sistemas dinámicos, y que les ha ganado gran reconocimiento internacional. Aunque el núcleo más grande está en Cuernavaca, también hay investigadores en temas afines en las otras dos sedes.
En las dos últimas décadas, el Instituto ha incursionado en nuevas áreas. Destacan la física matemática, la teoría de números y la computación teórica con grupos pequeños pero de una altísima calidad y productividad. La física matemática se cultiva en las tres sedes, la teoría de números en Morelia y la computación teórica en Ciudad Universitaria. Y además de los temas ya descritos, en el Instituto también se cultivan, o se han cultivado, de manera individual o en pequeños grupos otras áreas de las matemáticas, por ejemplo, lógica matemática, probabilidad o estadística. Hay que destacar aquí la labor de Leopoldo Román (1959-2006) en lógica, así como la de Maria Emilia Caballero en probabilidad.
Hasta hace cinco décadas, el Instituto era la única institución en México donde se hacía investigación en matemáticas. El panorama ha mejorado sustancialmente, pues en 2008 los miembros del Instituto ya sólo representan el 18% del total de matemáticos en el SNI; sin embargo, su liderazgo académico se pone de manifiesto al observar que representan el 36% de los niveles 3 y el 27% de los niveles 2.
J. Bracho et al., “Matemáticas”, La UNAM por México, ed. Lourdes M.
Chehaibar Náder, UNAM, México 2010, 893 - 928.