Funciones de Base Radial para la Solución de EDP: Nota introductoria.

{tab I Comentarios generales}

Pese a que los métodos de funciones de base radial para la solución de EDP se formulan a principios de 1990,  su impacto se ha dejado sentir ya tanto en la comunidad de ingenieros como en la de matemáticos (ver [I, II, III, IV, V, VI] así como las referencias contenidas en los mismos). La ausencia de mallas para la formulación de estos esquemas numéricos explica en gran medida el éxito de estas técnicas. En simulaciones reales es frecuente que el 70% del tiempo de procesamiento se deba a la generación de mallas. En este contexto, destacamos los siguientes elementos que hacen que estos métodos resulten más poderosos que los métodos clásicos: 

  • Ninguno de estos métodos requiere de la construcción de mallas, elemento que reduce considerablemente la complejidad algorítmica de dichos métodos.
  • Existen estrategias simples para refinar el número de nodos en regiones en que la función presenta oscilaciones o altos gradientes. Comparativamente las técnicas de nodos adaptivos son mucho menos costosas que los algoritmos de mallas adaptivas.
  • El tratamiento de problemas en más de dos dimensiones y con fronteras complejas, resulta mucho más simple y eficiente que con métodos dependientes de mallas.

Existen varias formas de clasificar los métodos numéricos de funciones de base radial para la solución de ecuaciones diferenciales parciales. En particular se pueden agrupar en dos categorías:

  • Métodos de base radial
    • Métodos globales
    • Métodos locales
  • Métodos de mínimos cuadrados móviles.

Lo que distingue ambos enfoques es que, en el caso de los métodos de base radial, el orden de convergencia del esquema depende del tipo de kernel de base radial, mientras que para los métodos de mínimos cuadrados móviles, aun cuando el kernel sea radial, el orden de convergencia está determinado por la técnica de ajuste por mínimos cuadrados. En otras palabras, los métodos de base radial heredan el orden de convergencia del kernel radial que lo determina, mismo que puede ser de carácter exponencial, mientras que los métodos de mínimos cuadrados tienen un orden de convergencia algebraico independientemente del kernel radial que se utilice. 

Otra diferencia importante es que los métodos de base radial son invariantes ante la dimensión del espacio, es decir, el carácter radial del método hace que el sistema algebraico -matriz de Gramm- correspondiente al método tenga la misma complejidad numérica en una, dos o mas dimensiones espaciales. En contraposición, los métodos de mínimos cuadrados móviles, cuya caracterización depende de un ajuste algebraico, poseen una complejidad numérica que depende de la dimensión del espacio Euclidiano.

Por otro lado, los métodos globales de tipo radial derivan en un sistema algebraico único de ecuaciones que incluye a todos los nodos del dominio, mientras que los métodos de mínimos cuadrados móviles nos conducen a un conjunto de sistemas algebraicos relativamente pequeños en relación al número total de nodos.  Simultáneamente, mientras que los métodos de mínimos cuadrados móviles son consistentes con respecto a la EDP, los métodos basados en kerneles radiales no necesariamente reproducen polinomios, por lo que en este caso, no son consistentes con respecto a la EDP.

 
En el caso de los métodos globales de funciones de base radial, uno de los principales problemas es que el número de condicionamiento de la matriz del sistema crece en la medida en que el número de nodos se incrementa. Esto no ocurre en el caso de los métodos de MLS, dado que los sistemas locales nos permiten construir matrices bandeadas y diagonal dominantes. Los métodos locales, sin embargo, no pueden generar esquemas que converjan exponencialmente a la solución, mientras que los globales sí. Adicionalmente, para el caso de los métodos globales se han formulado técnicas de descomposición de dominio y de precondicionamiento que permiten resolver problemas para un número grande de nodos.

Ambos enfoques han tenido un importante impacto en diferentes disciplinas y su efectividad para resolver distintos problemas es un tema que es objeto de la investigación actual. Entre los métodos más significativos de ambos grupos encontramos:


Métodos de base radial:

  • Colocación simétrica y asimétrica
  • Cuadratura diferencial
  • Métodos de funciones radiales de soporte compacto.
  • Método de soluciones fundamentales.

Métodos de mínimos cuadrados móviles:

  • Petrov Galerkin sin mallas (MLPG)
  • Elementos finitos mediante partición de la unidad (PUFEM)
  • Kerneles reproductores mediante partición de la unidad (RKPM)
  • Smooth particle hydrodinamics (SPH). 

 

En un trabajo reciente, Fasshauer [VII] introduce una formulación abstracta que unifica ambos enfoques -para el caso de kerneles radiales- bajo un marco común. En particular, el autor demuestra que los métodos locales obtenidos mediante mínimos cuadrados se transforman en métodos globales cuando el número de nodos del soporte de las técnicas locales abarca todos los nodos del dominio.

 

[I] S. N. Atluri and S. Shen, The Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG) Method, Tech Science Press, Encino, CA, 2002.
[II] M. D. Buhmann, Radial Basis Functions : Theory and Implementations, Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
[II] E. W. Cheney and W. A. Light, A Course in Approximation Theory, Brooks/Cole, Pacific Grove, CA, 1999.
[IV] G. R. Liu, Mesh Free Methods: Moving beyond the Finite Element Method, CRC Press, Boca Raton, FL, 2002.
[V] Wendland, H., Scattered Data Approximation, Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, UK., 2005  
[VI] G. E. Fasshauer, Meshfree Approximation Methods with Matlab Interdisciplinary Mathematical Sciences - Vol. 6 World Scientific Publishers, Singapore, 2007
[VII] G. E. Fasshauer,  Dual Bases and Discrete Reproducing Kernels: A Unified Framework for RBF and MLS Approximation, Engineering Analysis with Boundary Elements, Volume 29, Issue 4, April 2005, pages 313-325

 

 

{tab II Aplicaciónes: 1.  Matemáticas Financieras}

 

II Aplicación de los métodos de RBF a distintas disciplinas:

Los métodos anteriores han tenido un impacto importante en distintas disciplinas entre las que destacamos las siguientes:


1. Matemáticas financieras:

La ecuación diferencial parcial de Black–Scholes ha sido frecuentemente utilizada para la modelación de precios en contratos financieros. Los modelos de opciones de precios en una dimensión para las opciones Americanas y Europeas han sido explorados mediante métodos de RBF, por Hon et al. [1,2] y en una y dos dimensiones por Fasshauer et al [3] y por Marcozzi et al. [4]. Hon formuló un método basado en funciones quasi-radiales en una dimensión [5]. Recientemente, Pettersson et al. [6] resuelven el problema multidimensional para la European basket call option mediante colocación asimétrica con kernel multicuádrico y nodos adaptivos, reportando que sus resultados son de 20 a 40 veces más rápidos que los resultados obtenidos con diferencias finitas adaptivas.

[1] Y.-C. Hon, X.-Z. Mao, A radial basis function method for solving options pricing models, J. Financial Engineering 8 (1999) 31–49.
[2] Z.Wu, Y.-C. Hon, Convergence error estimate in solving free boundary diffusion problem by radial basis functions method, Engrg. Anal. Bound. Elem. 27 (2003) 73–79.
[3] G. E. Fasshauer, A. Q. M. Khaliq, D. A. Voss, Using meshfree approximation for multi-asset American option problems, J. Chinese Institute Engineers 27 (2004) 563–571.
[4] M. D. Marcozzi, S. Choi, C. S. Chen, On the use of boundary conditions for variational formulations arising in financial mathematics, Appl. Math. Comput. 124 (2001) 197–214.
[5] Y. C. Hon, A quasi-radial basis functions method for American options pricing, Comput. Math. Appl. 43 (3) (2002) 513–524.
[6] Ulrika Pettersson, Elisabeth Larsson, Gunnar Marcusson, and Jonas Persson, Improved Radial Basis Function Methods for Multi-Dimensional Option Pricing, Technical Report 2006-028, Uppsala University, 2006.

 {tab 2. Meteorología y Geofísica} 

2. Meteorología y Geofísica:

En [7], N. Flyer et al. se plantean el problema de modelar movimiento de flujos geofísicos en una esfera dominados por términos conectivos. Se trata del primer trabajo en el que se resuelven ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas mediante funciones de base radial. Los autores reportan que el número de nodos requeridos es mucho menor que los utilizados por métodos espectrales. Adicionalmente, el método de RBF, permite pasos de tiempo mucho más largos para obtener la misma precisión que los utilizados por métodos espectrales clásicos.

 En Jichun Li [8] , Hon [9] y Wong et al. [10] se resuelven las ecuaciones para yacimientos de agua someros (shallow water equations), mediante el método de colocación asimétrico con kerneles multicuadricos. En particular, en [20] se realiza un estudio para el puerto de Tolo e HonKong, que es comparado con técnicas de elemento finito y datos de campo, reportándose una superioridad sobre la técnica de EF y una excelente coincidencia con los datos de campo.

 [7] N. Flyer and G.B. Wright, Transport schemes on a sphere using radial basis functions. J. Comp. Phys., to appear (2007).

[8] Jichun Li, C.S. Chen, Darrel Pepper, Yitung Chen, "Mesh-free method for groundwater modeling", Boundary Elements XXIV, eds. C.A. Brebbia, A. Tadeu and V. Popov, WIT Press, Southampton, Boston, pp. 115-124 (2002).
[9] Y. C. Hon, K. F. Cheung, X. Z. Mao, and E. J. Kansa, .A Multiquadric Solution for Shallow Water Equations", ASCE J. Hydraulic Engineering, 125, (5), 524-533 (1999).
[10]  Wong, S. M., Hon, Y. C., and Golberg, M. A. 2002. Compactly supported radial basis functions for shallow water equations. Appl. Math. Comput. 127, 1 (Mar. 2002), 79-101

 La modelación de flujos bifásicos y trifásicos es abordada por Hon en [11] y [12] mediante un enfoque Euleriano de colocación asimétrico mediante multicuadricos. A. Iske et al. [13] [14] abordan el mismo problema desarrollando un método semi-lagrangiano que utiliza kerneles de tipo placa delgada para la solución de las ecuaciones deBuckley-Leverett, con objeto de modelar problemas bifásicos que son aplicables a la recuperación primaria de pozos en la industria petrolera.

[11] Y. C. Hon, M. W. Lu, W. M. Xue, and X. Zhou, "Multiquadric Method for the Numerical Solution of a Biphasic Model", Internat. J. Appl. Sci. Comput., 88, 153-175 (1997).
[12] Y. C. Hon , M. Lu , M. W. Xue and X. Zhou, "Numerical Algorithm for Triphasic Model of Charged and Hydrated Soft Tissues", Computacional Mechanics, 29(1), , pp 1-15 (2002)
[13] A. Iske and M. Käser: Two-Phase Flow Simulation by AMMoC, an Adaptive Meshfree Method of Characteristics. Computer Modeling in Engineering & Sciences (CMES) 7(2), 2005, 133-148.
[14] J. Behrens, A. Iske, and M. Käser: Adaptive Meshfree Method of Backward Characteristics for Nonlinear Transport Equations, in Meshfree Methods for Partial Differential Equations, M. Griebel and M. A. Schweitzer (eds.), Springer-Verlag, Heidelberg, 2002, 21-36.

 Chen et al. [15] estudian la modelación del transporte de contaminantes para yacimientos de agua mediante técnicas de colocación con RBF. El estudio numérico incluye varios casos: difusión pura, advección y dispersión para una fuente continua, advección y dispersión para una fuente instantánea. 

[15] J. Li, Y. Chen and D. Pepper, Radial basis function method for 1-D and 2-D groundwater contaminant transport modeling, Computational Mechanics, (32) 10-15, 2003

{tab 3. Dinámica de fluidos}

3. Dinámica de fluidos:

La solución de la ecuación de Navier Stokes, tanto estacionaria como dependiente del tiempo, ha sido abordada por Shu, et al. [16] [17] [18], en donde se resuelve el problema de la cavidad cuadrada, Ghia, mediante el método de cuadratura diferencial para números de Reinolds de 10^5.

 [16] Shu, C., Khoo, B. C., and Yeo, K. S. 1994. Numerical solutions of incompressible Navier—Stokes equations by generalized differential quadrature. Finite Elem. Anal. Des. 18, 1-3 (Dec. 1994), 83-97.

[17] C. Shu, H. Ding and K. S. Yeo (2005), 'Computation of incompressible Navier-Stokes equations by local RBF-based differential quadrature method', CMES-Computer Modeling in Engineering and Sciences, 7, 195-205.
[18] H. Ding, C. Shu, K. S. Yeo and D. Xu (2006), 'Numerical Computation of Three-dimensional Incompressible Viscous Flows in the Primitive Variable Form by Local Multiquadric Differential Quadrature Method', Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 195, 516-533.

 Chinchapatnam et al. [19] investigan la ecuación no estacionaria de convección difusión en una y dos dimensiones para distintos números de Peclet mediante colocación simetrica y asimétrica. El esquema numérico utiliza funciones radiales globales, tales como los multicuadricos, multicuadricos inversos, splines placa delgada y quínticos. En este estudio comparativo, los autores concluyen que el método simétrico es solo marginalmente mejor que el asimétrico y que para números de Peclet grandes se requiere una fuerte densidad de nodos para lograr una buena aproximación.


[19] Chinchapatnam, P.P., Djidjeli, K and Nair, P.B. (2006). Unsymmetric and symmetric meshless schemes for the unsteady convection–difusión equation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 195, (19-22), 2432-2453.

{tab 4. Elasticidad y Análisis Estructural}

4. Elasticidad y análisis estructural

Existen pocas referencias, hasta donde tenemos conocimiento, sobre algoritmos basados en funciones radiales de tipo global que resuelvenproblemas de análisis estructural . Cabe destacar, el trabajo de Ferreira et al. [20] que trata el problema de esfuerzos de vigas y placas compuestas deformables, así como el trabajo de Zhang et al. [21] en elasticidad plana. Recientemente Tiago et al. [22], utilizan el método de colocación asimétrico mediante distintos kerneles radiales para resolver y analizar problemas en una dimensión que van desde elasticidad lineal estática, vibración libre y análisis lineal de estabilidad, hasta problemas físicos no-lineales de modelos dañados.


[20] A. J. M. Ferreira, C. M. C. Roque, and P. A. L. S. Martins. Radial basis functions and higher-order shear deformation theories in the analysis of laminated composite beams and plates. Composite Structures, 66(1–4):287–293, 2004.
[21] X. Zhang, K. Z. Song, M. W. Lu, and X. Liu. Meshless methods based on collocation with radial basis functions. Computational Mechanics, 26(4):333–343, 2000.
[22] C. Tiago and V. Leitão, Application of radial basis functions to linear and non-linear structural analysis problems, Computers & Mathematics with Applications, 51(8), 1311-1334, 2006.

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