Solomon Lefschetz

Solomon Lefschetz (1884-1973) fue uno de los titanes de las matemáticas del siglo XX.

Después de su retiro las visitas a México se  multiplicaron; en ellas no escatimaba esfuerzos en alentar a jóvenes y talentosos matemáticos mexicanos para continuar sus estudios de posgrado, contribuyendo con ésto en la formación de una pujante escuela matemática mexicana. Por su entusiasmo en estas actividades el gobierno de México le condecoró con la orden del Águila Azteca.

Entrevista a Alberto Verjovsky

(De la revista universo.math. Editado por Laura Guzmán, Ernesto Lupercio, Jacob Mostovoy y Alberto Verjovsky, 2014. )

Solomon Lefschetz (1884-1973) fue uno de los titanes de las matemáticas del siglo XX.

Nacido en Moscú, creció en Francia, donde estudió ingeniería de 1905 a 1905 en la École Centrale, en París. Emigró a Estados Unidos en 1905; trabajó primero para Baldwin Locomotive Works, y después, de 1907 a 1910, para Westinghouse Electric Company.

 En 1907, perdió ambas manos en la explosión de un transformador. Logró superar el impacto de este evento trágico enfocándose en las matemáticas. Por un tiempo, impartió clases de matemáticas en Westinghouse, hasta que entró al programa de doctorado de la Universidad de Clark en Worcester, Massachusetts, en 1910. Recibió su grado de doctor en 1911 con una tesis en geometría algebraica.

De 1911 a 1913, trabajó en la Universidad de Nebraska en Lincoln y, de 1913 hasta 1925, en la Universidad de Kansas en Lawrence. Aislado académicamente, logró resultados fundamentales que influirían en el desarrollo subsecuente de la topología y de la geometría algebraica. En particular, en 1924, apareció su famoso libro L'analysis situs et la géométrie algébrique. Básicamente, Lefschetz descubrió que la entonces recién nacida topología algebraica era una herramienta fundamental en el estudio de la geometría compleja.

Lefschetz siguió desarrollando este tema en Princeton, donde trabajó de 1924 y a 1953. Sus múltiples contribuciones a la topología y a la geometría algebraica incluyen la teoría de intersección, el teorema del punto fijo y varios resultados fundamentales sobre homología y cohomología. El mismo término "topología" (inventado en 1847 por Listing) recibió su uso moderno gracias a Lefschetz.

Durante la segunda guerra mundial, Lefschetz se interesó por las aplicaciones de las matemáticas; ahí comenzó su trabajo en ecuaciones diferenciales. Desde 1958, Lefschetz dirigió un grupo de investigación en ecuaciones diferenciales en Glenn L. Martin Company's Research Institute for Advanced Studies (RIAS, por sus siglas en inglés) en Baltimore, Maryland; en 1964, formó el Lefschetz Center for Dynamical Systems en la Universidad de Brown, en Providence, Rhode Island. Estuvo activo hasta sus últimos días; en su último libro, habla de las integrales de Feynman, las cuales apenas estaban captando la imaginación de los matemáticos.

De 1928 a 1958, Lefschetz editó la revista Annals of Mathematics, la cual llevó a la fama mundial de la que todavía goza. Fue presidente de la Sociedad Matemática Americana. Entre otras cosas, contribuyó al desarrollo de las matemáticas en México.

Lefschetz era aficionado a los viajes y, antes de la segunda guerra mundial, visitaba frecuentemente Francia, Italia y la Unión Soviética. Con Europa en guerra, en 1944, empezó a visitar México (una costumbre que mantuvo siempre). Fue profesor visitante en la Universidad Nacional Autónoma de México (todavía, varios investigadores del Instituto de Matemáticas de la UNAM presumen de tener el pizarrón de Lefschetz en su oficina). Apoyó a varios estudiantes mexicanos en sus estudios de posgrado y, a uno de ellos, Alberto Verjovsky, le dirigió su tesis de doctorado en la Universidad de Brown.

La entrevista a Alberto Verjovsky

El 7 de agosto de 2013, en Guanajuato, en el contexto del Congreso Matemático de las Américas, Alberto Verjovsky aceptó conceder una entrevista a la redacción de universo.math sobre su relación con Solomon Lefschetz. Ernesto Lupercio fue el entrevistador.

E. Tengo entendido que tú fuiste el último estudiante de Lefschetz, ¿es correcto?

A. Yo creo que sí, el último alumno de doctorado, porque no conozco a ningún otro. Pero si quieres, te platico desde el inicio.

E. Claro.

A. Lefschetz era un personaje mitológico en la Facultad de Ciencias. Hablaban de él los profesores; yo, en realidad, no lo conocía tanto. De hecho, mi papá (que era aficionado a las matemáticas y trabajaba en Altos Hornos de México; él trabajó en las primeras computadoras, por ejemplo) había oído de Lefschetz.

E. ¿Qué estudió tu papá?

A. Mi papá se ostentaba como ingeniero industrial, pero fue autodidacta. No sé si se tituló, en realidad. De cualquier manera, Lefschetz era un personaje mitológico. Mi papá había oído de él y contaba anécdotas de Barajas y Graef y me ponía problemas de matemáticas.

E. ¿Quiénes fueron?

A. Carlos Graef fue uno de los primeros físicos con doctorado en México y fue influenciado por Lefschetz y George David Birkhoff también. Alberto Barajas fue de los pioneros en dar una imagen a las matemáticas; si bien, es cierto que, en realidad, en el caso de Barajas, no creo que haya formado una escuela; no sé si debería decirlo, pero no hay una escuela propiamente dicha; sin embargo, tuvo un impacto muy positivo en la matemática, a tal punto que, por ejemplo, un mural de Diego Rivera en la Facultad de Ciencias en la parte baja del auditorio (ex auditorio de la Facultad de Ciencias) tenía a Barajas y a Carlos Graef, o sea, eran unos personajes muy conocidos en el ambiente. Lefschetz, en ese momento, cuando ya lo conocimos muchos de nosotros, ya trabajaba en los sistemas dinámicos; ya no era el Lefschetz de la topología y de la geometría algebraica. Estamos hablando del año sesenta (aunque él empezó en los años cincuenta a desarrollar los sistemas dinámicos en Estados Unidos porque él notaba el atraso que tenía Estados Unidos respecto a la tecnología rusa: ya había los teoremas de Andronov-Pontrjagin sobre la teoría de control, etcétera; había avances extraordinarios).

E. ¿Cómo se comunicaba Lefschetz en México? ¿Hablaba español?

A. Español, con cierto acento y todo, pero bien. Una vez llegó al instituto en México, entusiasmado, Lefschetz, porque había entendido toda una conversación en portugués del equipo de futbol en el avión en que viajaba. Su conocimiento era tal -hablaba francés y español- que, por transferencia, le fue fácil entender el portugués: estaba feliz de haber podido entender una conversación.

E. ¿Dices que hablaba yiddish?

A. Sí, hablaba yiddish, pero él (y me lo dijo) consideraba que, realmente, su personalidad no era americana, sino francesa porque es donde creció de niño, donde estudió, y yo pienso que es muy probable que sus matemáticas las hiciera en francés.

E. Su corazón estaba en Francia, ¿o no?

A. Pienso que Francia estaba más en su memoria pero, realmente, estaba contento de estar en Estados Unidos porque era el país que le dio la bienvenida.

E. Birkhoff ya estudiaba ecuaciones diferenciales...

A. Exactamente, pero la escuela rusa era diferente y, como lo dijo Jacob Palis en su conferencia, la comunicación no era la de ahora: llegaban con retraso las innovaciones rusas, como la teoría de control de Pontrjagin, por ejemplo, que fue absolutamente fundamental para controlar satélites y se aplica a la electrónica, también. Por lo tanto, este seminario [Non-Linear Oscillations] tuvo muchísimo impacto; tal impacto que, yo diría, llega a Smale, a Peixoto, a Thom, porque gente de muy buena calidad en ecuaciones diferenciales como, por ejemplo, Jack Hale (quien, por cierto, fue profesor de la Universidad de Brown), Lamberto Cesari, Philip Hartman (grandes gentes en ecuaciones diferenciales) estaban en contacto con Lefschetz. Lefschetz, de hecho (no sé si supiste), trabajó en Baltimore en el Research Institute for Advanced Studies, el cual era un poco controversial pues era financiado por Martin Marietta, que fabricaba motores para aviones. Entonces, en un cierto punto, se enojó por alguna razón y se llevó a todo el equipo; se lo llevó a Brown, y éste fue el principio del centro tan importante de ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos que fue Brown. Ahora se llama Solomon Lefschetz Center for Dynamical Systems, Division of Applied Mathematics, con sede en Brown University. Fue él quien hizo eso. Por ejemplo, él motivó mucho a Peixoto para hacer los teoremas que sacó, que tuvieron una influencia fundamental en Smale, en René Thom. Lefschetz fue el que acuñó el término structural stability. Los franceses le llamaban rough systems y lo traducían como systèmes grossiers (una traducción que no es muy buena porque "sistemas groseros" no denota realmente lo que son; "sistemas rudos", quizás); sin embargo, el término "estabilidad estructural" realmente prende. Una buena nomenclatura tanto para la imaginación popular como para el financiamiento es importante. Él desarrolló esos conceptos. Tuvo una influencia increíble en el desarrollo de los sistemas dinámicos. Fue la última etapa de su vida, creo. Regresando a cómo lo conocí; un día, caminando por la fuente de Prometo en la antigua Facultad de Ciencias que, por cierto, estaba en una posición central en el campus de CU ...

E. ¿No es donde está ahora la Facultad de Ciencias?

A. No, no es donde está ahora, pero lo digo porque quiero decir que estaba en el centro de gravedad de la universidad. Es de resaltar porque muestra cómo se percibía la ciencia en la época de Nabor Carrillo, de Ignacio Chávez: la torre de Ciencias era una maravilla; creo que era la más bonita y, un día, caminando por la torre de Ciencias, enfrente de la fuente de Prometeo, veo un cartel que dice "El Profesor Solomon Lefschetz dictará un seminario de sistemas dinámicos" y me apunté de inmediato; Juan José Rivaud se apuntó, al igual que Jorge Bourges y Pablo Barrera. Así que empezamos un seminario con él, lo cual era fascinante porque era un seminario de ecuaciones diferenciales desde el punto de vista geométrico (el teorema de Poincaré-Bendixon, el teorema de Poincaré-Hopf, desde un punto de vista topológico muy lindo). Lefschetz tiene, incluso, un libro editado por la universidad.

E. ¿Por la UNAM, quieres decir?

A. Por la UNAM, mexicano, en español, que se llamaba Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales (no sé si todavía se pueda conseguir).

E. ¿Él escribía en español?

A. Escribía (tal vez con errores, pero se lo editaban las secretarias). Por cierto que él, como ya sabes, perdió los brazos, pero escribía perfectamente. De hecho, entre mis suvenires, tengo un libro: las pruebas de galera de Minorski (se llama Non-Linear Oscillations) con todas las correcciones salidas de la mano de Lefschetz. Tengo bastantes escritos de él. Éste era la teoría de una ecuación de Van der Pol, una ecuación de Lennard que era muy importante, por ejemplo, para toda la electrónica. Ahora no tiene nada que ver, pero antes, por ejemplo, Lennard y Van der Pol trabajaban para la Philips en Holanda.

Ese día fue uno de los días más maravillosos en mi vida: empecé a ir al seminario de Lefschetz. Me acuerdo que una vez, en el pizarrón, puso un ejemplo de ecuación diferencial: un campo de vectores que no se anulaba en un anillo, en un cilindro, y entraba transversalmente al cilindro. El vector apuntaba hacia dentro del cilindro, y Lefschetz decía: "Pues debe de haber una órbita periódica adentro, por el teorema de Poincaré-Bendixon". Y yo digo: "Pues, claro: es una vuelta que debe circundar". Él pregunta: "¿Por qué?" (esta pregunta fue un acto de humildad de su parte). Yo le respondí: "Si no es homotópico a cero, tiene que dar la vuelta ¿no?" Afortunadamente, pude decir por qué había una singularidad, pero fue una gran muestra de humildad como para reflexionar. Después, puso un problema de topología que resolví. Eso fue lo que hizo que, como tres meses más tarde, yo recibiera una invitación para ir a Brown University. Y yo le escribí una carta: "Pero no me he recibido". Él contestó: "No importa".

E. ¿Te titulaste alguna vez de la UNAM?

A. Nunca me titulé de la UNAM. Me fui; llegué a Brown. Me acuerdo que un profesor, no Lefschetz, me llevó a la inscripción y, en dos minutos, estaba yo inscrito. Yo, ingenuamente, me paré, esperando la siguiente fila frente a un letrero que decía "Asuntos Escolares". La secretaria me dijo: "¿qué, se le ofrece algo?". "La inscripción". "Ya está usted inscrito". Tomó dos minutos.

E. ¿Ya estudiando en la Facultad de Ciencias conociste a Lefschetz?

A. Ése fue el primer choque de mi vida: conocerlo. Un día, por fin, invité a comer a Lefschetz a mi casa. Mi papá ni siquiera fue al trabajo ese día. Yo creo que gastó la mitad de su salario —que no era mucho— en comprar un buen vino. Él mismo preparó la comida. Todo esto fue antes de que me invitara a Brown. Mi hermana le regaló un cuadro de ésos que, pues, uno no sabría dónde poner, típico de una niña de secundaria. Quizás mi vida familiar ejerció algo de influencia en la matemática: que haya conocido a mi familia y haya visto mi clase socioeconómica y, un poco, el apellido y la ascendencia judía (aunque no tanto, porque, en realidad, él sabía que yo no era practicante) fue decisivo para que yo recibiera la invitación para ir a Brown. Y me fui, y fue fabuloso. Sigue siendo alguien impresionante: Lefschetz.

Lefschetz iba cada martes a Brown. Tomaba el avión desde (¿cómo se llama el aeropuerto cerca de Princeton, Newark?); desde ahí llegaba. Una que otra ocasión fui a recogerlo o a dejarlo. Era curioso porque, cuando iba a dejarlo, llegábamos un poquito tarde: estaban las sobrecargos en la escalinata del avión (porque antes, para subir al avión, había escalinata), viendo el reloj, y, cuando lo veían llegar, decían: "¡Por fin, ya llegó!". Lo recibían con los brazos abiertos; era de ese tipo de personas. Tuve varias cosas de él: me regaló su libro (por cierto, creo que pertenecía a la biblioteca de la UNAM, del Instituto, pero no me lo robé: lo que pasa es que él regaló varias copias y le dijo a la secretaria "Regálale uno a Alberto"). Lo tengo, también, autografiado.

E. ¿Cuál es?

A. Es el libro de topología de la American Mathematical Society.

E. Sí, lo conozco.

A. Es famoso ¿no? Ya en Brown, llegaba, se quedaba todo el día (había, incluso, un sillón especial para tomar la siesta) porque iba a los seminarios, y movía todo: hablaba con Hale, con Lasalle (estaban escribiendo juntos un libro de teoría de control). Tuvo un impacto grandísimo en el desarrollo de las ecuaciones diferenciales y los sistemas dinámicos en Estados Unidos que culmina con toda la escuela de Smale, quien había estudiado con Bott.

E. ¿Cuál era la relación de Bott y Lefschetz?

A. No era mucha, realmente. Lo que pasa es que Smale conoció a Peixoto y a aquellos, y empezó a enterarse de los problemas de sistemas dinámicos, así como de las aplicaciones de la topología a los sistemas dinámicos. Y se dio cuenta de los sistemas gradiente, entre otras cosas. Hizo mucho: la reversión de la esfera, etcétera; se dio cuenta de que los sistemas gradientes y su descomposición celular le daban una fuerza increíble: de tal suerte que demostró h-cobordismo en la conjetura de Poincaré. Ahora da la impresión de que se la pasaba sentado en las playas de Copacabana mirando el sol; pero, la verdad es que, cuando yo estuve en el IMPA, por los años 69-70, cada libro que se publicaba con algún tema similar (de topología o geometría diferencial), y que yo consultaba había sido consultado antes por Smale. Trabajaba, no sé, 16 horas y, después, una hora en Copacabana y ya; aquella idea de que la playa lo inspiró es muy romántica, pero hasta cierto punto, porque sabemos nosotros que debió de haber trabajado muchísimo, lo que es la mera verdad.

Volviendo a Lefschetz. Recuerdo que, en alguna ocasión en que lo llevé al aeropuerto, en momentos en que la política de Estados Unidos estaba muy difícil porque había una regresión hacia la derecha, había un candidato de Alabama, Wallace, que era muy de derecha, y me acuerdo que yo le comenté: "No, no va a pasar nada; yo creo que ... ". Se me quedó mirando y me dijo "Muchachito, no ha vivido la historia". Yo no sé si la razón por la cual escogió México como su punto, digamos, de retiro tenga algo que ver con que no quería regresar a Europa, aunque no sé si regresó a Europa; de hecho, no tengo datos.

Después de que se jubiló (creo que en el '45), hasta donde yo sé, casi todas las series de conferencias a las que asistió fueron en Latinoamérica (México, en especial: el país que adoraba). Él llegaba siempre al hotel Majestic, siempre al mismo cuarto; es más, me acuerdo que me dijo una vez que lo único que no le gustaba de México era el mole pero que no se lo dijera a nadie porque el mole es el gran orgullo nacional (aunque, la verdad, conozco mucha gente mexicana a la que tampoco le gusta el mole, ¿no?). Una vez llegó todo emocionado por el día de Corpus Christi (cuando, como sabes, hay quien se engalana con vestidos típicos de manta y carga una mulita de juguete con huacalito); le conmocionaban, yo creo, todas esas cosas que hacen de México un país mágico y fantástico. Es razonable que un país con tanta cultura, con tanto color, fuera fascinante para él.

Tuvo una influencia grandiosa. Todos sabemos de la cantidad de gente que llevó (todo una escuela) a Princeton: Adem, Gitler, a Guillermo Torres, y desde luego, a Santiago López de Medrano, así como a Francisco González Acuña. Yo me acuerdo que me preguntaba a mí mismo por qué yo no había ido a Princeton y, un día en que nos encontramos y hablamos informalmente del tema, me dijo: "Bueno, yo pude haberlo recomendado a Princeton, pero hubiera sido un desastre porque el sistema de Princeton es un sistema de libertad absoluta: no tiene que llevar cursos. La parte difícil es que se está contra un grupo brillantísimo, compitiendo de otra manera. En cambio, en Brown está el dean, está su asesor, y van llevándolo de la mano. Si llegaba a Princeton y llevaba todos los seminarios, todos los cursos, hubiera sido fatal". Para mí fue una (¿cómo te puedo decir?) una idea muy, muy positiva en mi vida el hecho de que él lo haya considerado así.

El caso es que era una personalidad fascinante. Casi nunca pedía que le ayudáramos, por ejemplo, con la cuestión de sus movimientos: él los hacía por sí solo.

E. ¿Tenía prótesis?

A. Sí, la tenía y, además, usaba un portagises que él mismo abría.

E. ¿Recuerdas algún consejo matemático que Lefschetz te haya ofrecido como asesor?

A. Me acuerdo que una vez que me dijo "Muchachito, no hay que hacer todo tan general. A veces hay que tomar casos particulares". Hay un matemático joven que demostró un teorema relajando la hipótesis. Y Stephen Smale, que demuestra la conjetura de Poincaré, no en el caso topológico, sino con la hipótesis de diferenciabilidad (después lo demostró Stallings y, bueno, Zeeman para el caso PL). Así fue la idea: en ocasiones, relajar una hipótesis puede darte un teorema que, posteriormente, puede darte un teorema general.

A lo largo de mi vida, lo dos matemáticos que más han influido, de los que más oigo son Poincaré (Henri Poincaré) y Lefschetz.

E. ¿Y cuál era la relación entre Poincaré y Lefschetz? Me imagino que no se intersecaron.

A. No se intersecaron, aunque no estoy seguro de que no se conocieran porque, acuérdate que Lefschetz nació en el '84 del siglo antepasado y Poincaré murió en el '12 del siglo pasado; así que hay un traslape de (12 + 16) 28 años. Es muy posible que haya atendido los cursos de Poincaré. Lo que sí es cierto es que asistió a los cursos de Émile Picard. La educación francesa es tan buena que (aun en esos tiempos) llevaban analysis situs los ingenieros, desde luego para, por ejemplo, la cohomología de gráficas porque estaban las leyes de Kirchhoff. Así que puedes darte cuenta de la importancia de una buena enseñanza de algo como la topología en alguien. Para eso sirve: tuvo un impacto increíble en él.

E. ¿Él estudió matemáticas en Francia?

A. Sí, estudió en la escuela de ingeniería, sacó su certificado y se fue a Estados Unidos; el resto, todo el mundo lo conoce. El caso es que, pienso yo, como tenía también conocimientos de italiano (él leyó muchísimo la bellísima teoría italiana de la geometría —que era una belleza—, no como la conocemos ahora —la geometría algebraica es muy algebraica— sino una que era increíblemente geométrica), se dio cuenta de la necesidad de introducir la topología algebraica. Por ejemplo, el plano proyectivo complejo tiene cohomología no trivial y, justamente, el generador es la recta al infinito. Entonces, las cuentas no salían porque daba la impresión de que podías contraer al origen la recta al infinito. Todavía no se entendía muy bien. Entonces, con esto, toda la teoría, todo el contar la homología necesitaba de una teoría fuerte (él mismo lo describió cuando dijo: "Yo tenía el arpón listo para atrapar a la ballena"): eso era precisamente la topología algebraica. Sus conocimientos, realmente, eran de la escuela francesa: no sólo la estudió sino la desarrolló. Pero también tuvo mucha influencia en él la escuela italiana: la tomó y la incrementó, en especial la geometría algebraica. Y, al mismo tiempo, se vio en la necesidad de desarrollar métodos topológicos, lo cual es interesante porque él era muy geométrico. Por ejemplo, para él, el teorema del punto fijo de Lefschetz era simplemente entender a profundidad la intersección de una gráfica con la diagonal, cosa que todos sabemos, ¿no? Pero esta subdivisión de la diagonal contiene ya todas estas ideas fundamentales que llegan hasta Grothendieck y Deligne, y hasta las conjeturas de Weil. Cuando yo digo que soy alumno de Lefschetz, piensan que soy de la época de la topología algebraica, de la geometría algebraica. Respondo que no. Número uno: a Lefschetz lo conocí cuando ya tenía ochenta años.

E. ¡Tenía ochenta años cuando lo conociste!

A. De hecho, ahora que lo remarcas, es interesantísimo: la universidad decidió hacerle un homenaje a los ochenta años. El rector Ignacio Chávez lo promovió. Se organizó en el piso 14 de la torre de Ciencias. Nosotros, los estudiantes, tuvimos como compromiso tratar de que no supiera del evento y llevarlo a la cafetería para distraerlo. Al final, cuando ya era la hora, nos subimos al elevador y lo condujimos al piso 14. Efectivamente, estaban todos los profesores del Instituto de Matemáticas. Recibió una medalla. También estuve presente cuando le fue otorgada la más alta condecoración...

E. ¿La del Águila Azteca?

A. Sí, se la entregaron en el viejo edificio de Relaciones Exteriores de la Avenida Juárez, el que se cayó con el temblor. Era en aquel entonces secretario de Relaciones Exteriores José Gorostiza, el papá de Luis Gorostiza. Asistimos algunos de sus alumnos. Fue muy emocionante y un poco chistoso porque dijo: "Le agradezco mucho haber recibido el Pájaro Azteca". Yo me acuerdo que todos nos quedamos un poco pasmados pero, obviamente, fue un pequeño error, ¿no? Claramente, quiso decir "Águila Azteca". Tenía sentido del humor. Me acuerdo que, en una ocasión en que se recibía de licenciatura una estudiante de la Facultad de Ciencias, fue invitado a la recepción. Él asistió. Recuerdo claramente que se repartieron caballitos de tequila y todos creíamos que Lefschetz no aguantaría. ¡Nos equivocamos! Tomó el caballito y se lo aventó de un jalón, al estilo ruso, como si fuera vodka. Nos quedamos boquiabiertos: los que no podíamos tomar tequila éramos nosotros, no él. Tengo imágenes así como éstas, como si fueran instantáneas fotográficas de él, increíbles: de sus seminarios, de lo que platicaba, de la tesis de licenciatura que nunca publiqué; tuve que entender la teoría transversalidad primero.

E. ¿Él dirigió tu tesis de licenciatura?

A. Sí, exactamente. Era de sistemas discontinuos.

E. ¿Qué es eso?

A. Hay sistemas que están gobernados por una ecuación diferencial en una región y, cuando llegan a la frontera, cambian a otra ecuación. Por ejemplo, imagínate un péndulo, un péndulo real que tiene fricción y todo eso: va amortiguándose a cero. Tú quieres que siempre siga moviéndose; entonces, en un cierto momento, le das tic (un pequeño golpe) y reinicias el movimiento. Así que tienes un sistema con un campo vectorial definido en una región; el sistema está gobernado por esta ecuación diferencial hasta que llega a la frontera y, en la frontera, con un chasquido de dedos, cambia y es gobernado por el segundo campo vectorial. Llega a la frontera y... etcétera . Por lo que es pertinente preguntar si hay órbitas periódicas; la misma teoría ¿no?, ¿qué es lo genérico? Es un problema que todavía sigue abierto: los sistemas discontinous porque, en realidad, en la práctica, en la mecánica, en la electrónica, la gran mayoría de los sistemas que gobiernan son discontinuos.

E. Regresando a la cuestión Poincaré-Lefschetz...

A. Bueno, ya se me olvidaba. Me desvié un poco. Me salí de la partitura.

Lo que quería decir es que Poincaré ejerció una gran influencia a través de Picard. Hay que recordar que Poncairé realmente inició varias variables complejas. Poincaré influyó notablemente en la geometría algebraica, también; que no se le recuerde a veces pero los periodos de formas holomorfas, y su variación respecto a parámetros desarrollada por Griffiths. Lefschetz estaba muy consciente de la teoría de Poincaré; además, Poincaré era asombrosamente didáctico: había escrito unos fabulosos tratados con los cuales cualquiera puede hacer casi su propia investigación. De hecho, cada vez que daba un curso, Poincaré escribía un libro. Por lo que es evidente que Lefschetz leyó muchísimo la obra de Poincaré. La parte del analysis situs, por ejemplo, la ha de haber leído completa, así como la parte de las ecuaciones diferenciales; era algo familiar para él.

E. ¿Llamarías a Lefschetz un sucesor de Poincaré?

A. Definitivamente. Un gran sucesor de la escuela, también. De hecho, incluiría a René Thom y a Smale. Asumiendo el riesgo de ser impreciso, diría: "Los dividimos en tres grupos (aunque no sea tan cierto): riemannianos, hilbertianos y poincareanos". En cualquier departamento de matemáticas, tú puedes decir: "Éste es riemanniano", "Éste es hilbertiano", etcétera. A veces, obviamente, hay mezclas (¿por qué no?), pero es casi muy claro: los tres han sido pilares increíbles. Después de un tiempo, ya se puede decir que sigue Grothendieck. Sin embargo, Smale, por ejemplo, es un sucesor de Poincaré, y lo mismo Thom. Hermann Weyl, o von Neumann, grandes matemáticos, son todavía más hilbertianos.

E. Lefschetz era muy crítico de categorías y todo esto, ¿no?

A. Absolutamente. De hecho, otra anécdota de él: una vez, dando una conferencia, todavía en el instituto (algo que has de haber oído mil veces porque es muy conocido), tomó el gis y comenzó a escribir y dijo: "En mi época era GEOMETRÍA algebraica y, ahora, es geometría ALGEBRAICA". Él basaba muchas de sus cosas en la intuición; de hecho, sus demostraciones no eran completas a veces pero eran correctas, porque eran demostraciones sumamente intuitivas, un poco como Poincaré.

A ver, otra relación con Poincare: la definición de "demostración". Al leer a Poincaré, de pronto te topas con la siguiente afirmación: "Queda así demostrado el teorema." ¿Cómo, cómo, cómo? Tienes que irte 20 páginas atrás, leer todo hasta el final, releerlo tres veces y, ¡ah!, pues sí; sí lo demostró, aunque faltan miles de cosas rigurosas. Por lo que su forma de hacer matemáticas era muy poincareana: la escuela francesa.

Y luego, claro, viene Zariski, quien jugó un papel fundamental, además de ser un muy buen amigo.

Grothendieck desarrolla un lenguaje; en realidad, toda una teoría que implica un lenguaje nuevo. A ver, Grothendieck empieza en el '62 (no, digamos, en el '60; así que Lefschetz ya tenía 76 años).

También gozó de gran ascendiente en Princeton: fundó Annals of Mathematics, una serie de libros de non-linear oscillations que tuvo un impacto notable en el desarrollo de las ecuaciones diferenciales en Estados Unidos, y la llevó al punto en el que está. Influyó, también, en la contratación de gente como Einstein y von Neumann. Era asombroso.

E. ¿Qué significaba fundar una revista en ese entonces? ¿Por qué Lefschetz fue importante para el éxito de Annals of Mathematics?

A. ¡Ah!, porque tenía un juicio sorprendente para elegir los buenos artículos. Era implacable; parecía duro, incluso. Es una condición sine qua non para una revista: no recibir arbitrariamente lo que sea. Era muy selectivo y elegía a muy buenos colaboradores. Empezó con la mejor gente de la época. El proceso va desenvolviéndose naturalmente con el paso del tiempo: los árbitros son aquellos que ya han publicado ahí.

E. ¿Alguna vez dijo "No me importa lo que diga el árbitro, yo lo publico"?

A. No lo sé pero estoy seguro que sí. Es más, estoy seguro que sí porque, por ejemplo, él era el encargado de hacer los exámenes de idiomas para los doctorados (¿sabes que hay que presentar dos idiomas, no? En esa época, no era como ahora, que es horrible: te vigilan e, incluso, debes llevar un lápiz de ciertas características y tienes que saber alemán y francés en un nivel equivalente al TOEFL; es dificilísimo). Para Lefschetz era: "Toma este artículo; toma estas cuatro páginas y traduce". Hasta dejaba usar el diccionario. Creo recordar que, una vez, tuvo una controversia con la administración de Princeton por ser poco exigente en sus exámenes. Ante el comité, no lo negó, esgrimiendo como defensa su dominio en 6 idiomas (italiano, francés, ruso, alemán, yiddish, español); lo dejaron en paz. Ésa es la tradición lefschetziana. Sabemos que, para nosotros, "traducir" quiere decir "entender". No es entender a Shakespeare; es otra cosa. Era muy pragmático, en este sentido, Lefschetz: "Si entiende lo que dice, entiende todo el artículo, hasta entiende todos los teoremas". Siempre hablaba de Poincaré o de sus amigos franceses.

Por ejemplo, a lo largo de mi amistad con Etienne Ghys, un matemático francés, siempre hablábamos de Poincaré y de Lefschetz. Su memoria siempre fue un elemento común entre Ghys y yo. Yo pienso que fue por eso que Ghys me invitó a participar en la películaL'harmonie et le chaos, un documental que celebraba los 100 años de Henri Poincaré en el que también participó Cedric Villani.

E. Porque no había una razón a priori: un mexicano que adore a Poincaré es un poco raro ¿no?

A. Desde luego que tiene que ver: Lefschetz fue determinante en mi vida y Poincaré lo influyó a él muchísimo.

También me acuerdo de cuando hizo el famoso congreso del '56 en México: fue una cosa extraordinaria.

E. ¿En la Facultad de Ciencias?

A. No, fue en la Torre de Ciencias: ahí se tomó la famosa foto. Vino la crema y nata de la época. Todavía hay gente que considera que ha sido el mejor congreso jamás realizado. Todavía ahora. Me cuentan (yo nunca lo vi) que la fotografía principal de la oficina de Hirzebruch es la gran foto aquella.

Bueno, decía, a Lefschetz no le tocó tanto la escuela brasileña actual, sólo la inició, a través de Peixoto. Realmente, tampoco conoció a Palis; a Peixoto, sí. Él fue quien lo descubrió, de hecho. Lo llevó a Brown y lo motivó a generalizar los teoremas de Andronov-Pontrjagin sobre estabilidad estructural que se detonan en los trabajos de Smale. También organizó las dos visitas de Pontrjagin a Estados Unidos. Interesante, ¿no? Y hablaba desde luego muy bien de Birkhoff y de Pontrjagin, a pesar de que ambos tenían algunas ideas un poco controversiales. Pontrjagin llegó y, como era ciego, traía un asistente: era un joven, con traje de vestir, que escribía en el pizarrón. El primer joven que llevó, en su primer viaje, fue a Anosov; en el segundo, otro joven: S.P. Novikov. Ya no hubo un tercero, pero uno podía apostar que si hubiera habido otro joven que escribiera en el pizarrón, posiblemente sería un futuro medallista Fields.

Pues sí, realmente, puede decirse que la influencia de Lefschetz en México fue fundamental. Es posible demostrarlo al observar las ramas en las que México ha tenido éxito: están directamente conectadas con las áreas cultivadas por Lefschetz. Vamos, las más representativas de la calidad. En este sentido, México es poincareano.

E. ¿Cómo trabajaba Lefschtez?

A. Lefschetz dormía bastante: por su edad, ya tomaba su siesta. Luego se levantaba, tomaba una pluma con sus brazos especiales, y se sentaba a escribir. Lo veía mirando a través de sus anteojos, y escribía, y escribía bastante; se ve que pensaba mucho, soñaba mucho y, justo es confesarlo, dormía mucho en las conferencias. En todas las conferencias a las que asistí en las que estaba él, se durmió. Lo asombroso era que, cuando se despertaba, hacía la mejor pregunta: su subconsciente o no sé qué. Siempre iba al centro. Sus preguntas siempre eran como un dardo al corazón de la pregunta. Veía la esencia. Como todo gran matemático, iba exactamente al meollo del problema y, a partir de eso discutía.

Nunca lo vi en el diván. Ya ves lo que decía Alan Connes sobre la importancia del diván —de leer, de tener tiempo de ocio, leisure time, para pensar— para un matemático y que, a veces, es difícil convencer a la esposa de que estás trabajando. El diván simboliza el leisure time: el "ocio activo". Por ejemplo, actividades como estar en algunas redes sociales no califican porque te quitan libertad, te distraen haciendo otras cosas en lugar de usar tu tiempo para reflexionar. Necesitas tiempo de ocio positivo. Lo que quiere decir con eso es que, además de todo lo demás, un matemático necesita tiempo de libertad y, por lo tanto, una universidad, una institución académica debe contar con eso: darle tiempo de ocio al investigador para pensar y desarrollar ideas; después, las clases.

E. ¿Tuvo muchos colaboradores?

A. Pues yo no le conozco a nadie más que a Lasalle. Escribió un libro con Lasalle, ya en la última época. Creo que no tuvo más colaboradores.

E. Lo cual es impensable hoy en día.

A. Así es. Todo ha cambiado: el estilo de comunicación, la trasmisión del conocimiento. Hoy no lo necesitas: tú escribes un email a la escuela rusa (a Ilyashenko, o a Sinai —que está en Princeton—), y te llega su artículo. Este ideal de abrir la escuela rusa fue importantísimo. Ya percibían ellos, yo creo, la llegada del Sputnik. Fue un golpe durísimo para el americano. Yo me acuerdo viendo claramente que Estados Unidos —vía von Braun— iba a llegar primero. Recuerdo que yo era muy chiquito (en el '57, en lo que hacía el mandado) cuando llegó ("pip", "pip": el Sputnik está en el cielo). Todo esto ya lo preveía un poco Lefschetz: el posible atraso tecnológico, lo que tampoco era completamente cierto porque son dos cosas diferentes, ¿no?

 

Go to top